Алеф0 (Aleph0). Computer Recreations. Software — Practice and Experience, 1, pp. 297–300, 1971.
В этой статье описывается с внешней стороны программа игры в калах и дается некоторый исторический обзор подобных программ. Имеется полезная библиография.
Белл (Bell R, С). Board and Table Games from Many Civilizations. Oxford University Press, London, 1969.
В гл. 4 Белл описывает несколько вариантов игры манкала. Книга представляет интерес для широкого круга читателей благодаря обширным сведениям об играх и об истории культуры.
Нильсон (Nilsson N. J.). Problem-Solving Methods in Artificial Intelligence. McGraw-Hill, New York, NY, 1971. [Имеется перевод: Нильсон H. Искусственный интеллект. Методы поиска решений. — М.: Мир, 1973.]
Книга Нильсона, вероятно, наилучшее введение в эту дисциплину. В гл. 6 очень понятно разобраны минимаксные методы. Даются ценные рекомендации по дальнейшему чтению.
Слэйгл (Slagle J.R.). Artificial Intelligence: The Heuristic Programming Approach. McGraw-Hill, New York, NY, 1971. [Имеется перевод: Слэйгл Дж. Искусственный интеллект. Подход на основе эвристического программирования. — М.: Мир, 1973.]
Слэйгл также дает хороший обзор области искусственного интеллекта. Он экспериментировал с калахом, и поэтому в книге приводится ряд подробностей об этой игре.
* «Наука и жизнь», № 12, 1971.
Описывается программа игры в калах, разработанная в ВЦ Ленинградского университета. Правила игры, используемые этой программой, сильно отличаются от описанных в настоящей книге.
15.
Проще простого,
или Поиск узоров из простых чисел
Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован ими и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители — такое естественное действие. Почему же тогда простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его?
Какой-то порядок в простых числах, несомненно, есть. Простые числа можно отсеять от составных решетом Эратосфена. Начнем с того, что 2 — простое число. Теперь выбросим все большие четные числа (делящиеся на 2). Первое из уцелевших за двойкой чисел, 3, также должно быть простым. Удалим все его кратные; останется 5. После удаления кратных пяти останется 7. Будем продолжать в том же духе; все числа, прошедшие через решето, будут простыми. Эта регулярная, хотя и медленная процедура находит все простые числа. Мы знаем, кроме того, что при n, стремящемся к бесконечности, отношение количества простых чисел к составным среди первых целых чисел приближается к ln n/n[21]. К сожалению, этот предел чисто статистический и не помогает при нахождении простых чисел.
Оказывается, что все известные методы построения таблицы простых чисел — не что иное, как вариации унылого метода решета. Эйлер придумал формулу x2 + x + 41; для всех x от нуля до 39 эта формула дает простые числа. Однако никакая полиномиальная формула не может давать подряд бесконечный ряд простых чисел, и функция Эйлера терпит фиаско при х = 40. Другие известные функции дают длинные ряды простых чисел, но ни одна не дает сплошь простые. Исследователи проанализировали множество целочисленных функций, однако до сих пор не удалось увидеть закономерность.
Рисунок 15.1. Числа расположены по спирали против часовой стрелки.
Закономерности проявляются, когда целые числа отображаются на плоскость (или в пространство). Одно из возможных отображений показано на рис. 15.1, где числа располагаются вокруг начальной точки по спирали против часовой стрелки. На рис. 15.2 целые числа заполняют треугольник положительного квадранта. Если достаточно далеко расширить рамки этих рисунков, то станет видно, что простые числа располагаются преимущественно вдоль отдельных прямых (в основном по диагоналям) и совершенно игнорируют другие прямые. Частично этот эффект легко объясним* В обоих расположениях целые числа, попадающие на любую диагональ, даются некоторым квадратичным многочленом. Если многочлен, соответствующий какой-либо прямой, разлагается на рациональные линейные множители, то эта прямая будет содержать одни составные числа. Таким образом, простым числам волей-неволей пришлось облюбовать неприводимые прямые. Однако некоторые неприводимые многочлены изобилуют простыми числами, и изобилие это не оскудевает, несмотря на то что плотность простых чисел среди всех целых медленно стремится к нулю. Иными словами, хотя разложение многочленов объясняет в некоторой степени скученность простых чисел, все же существуют многочлены, более богатые простыми числами, чем предсказывает обычный статистический анализ.
21
Это не совсем так. Число простых чисел среди первых n (при n → ∞) примерно равно n/ln n. Таким образом, отношение числа простых и составных чисел есть
—