Конечно, если бы все элементы матриц L и R были порядка, скажем, 10−20, то мы бы не имели забот. Для всех практических целей 10−20 есть нуль, если элементы исходной матрицы равны в среднем 1/50 или больше. Существует, однако, точный способ оценки величины остаточных матриц L и R. Определим норму по строкам матрицы А как
Добавьте к своей программе, которая вычисляет обратную к матрице Гильберта, подпрограмму, печатающую таблицу |L|r и |R|r для каждой обратной матрицы. Проверьте вашу программу на отсутствие ошибок. Не сможете ли вы теперь объяснить, почему остаточные матрицы столь велики. Уверены ли вы в правильности программы?
Ваша программа правильна; причина неполадок — погрешность машинной арифметики. Матрицы Гильберта внешне выглядят вполне безобидно, однако они специально предназначены для демонстрации накопления ошибок в длинном ряду взаимосвязанных вычислений. Вы, быть может, считаете источником бед то, что ваш компьютер хранит недостаточное число цифр вещественных чисел. На многих ЭВМ имеется арифметика двойной точности. Предусмотрев в своем алгоритме двойную точность, вы сможете улучшить ситуацию, но заведомо не сможете полностью решить проблему. Весь этот этюд посвящен изучению влияния арифметики ограниченной точности на алгоритмы, которые являются абсолютно точными для «действительных» чисел (как их понимают математики). Прикладные математики и специалисты по численным методам в программистских лабораториях тратят большую часть времени на изменение теоретических алгоритмов, чтобы они могли работать на реальных ЭВМ[30].
Тема. Запрограммируйте алгоритм обращения матриц и проверьте его на матрицах Гильберта указанных выше порядков. Напечатайте таблицу или начертите график зависимости |L|r и |R|r от порядка n матрицы Hn. Если используемый вами язык допускает выбор точности чисел, то повторите вычисление обратных матриц с большей точностью, чтобы увидеть, улучшится ли в результате таблица или график ошибок. (Мудрый программист так составит программу, чтобы изменение точности достигалось путем замены небольшого числа деклараций.) Следите также за числом фактических перестановок строк при выборе ведущего элемента; оно будет показывать, насколько плохо алгоритм согласуется с теорией.
Указания исполнителю. В этом этюде требуется прямая реализация алгоритма. Единственная трудность — это проверка соответствия программы теоретическим определениям и алгоритму. Не делайте над алгоритмом никаких оптимизирующих преобразований; вы изучаете, до чего можно дойти, если слепо следовать советам математиков, забыв о важнейшем положении — о точности вычислений.
Инструментовка. Подойдет любой алгебраический язык. Фортран был создан для решения матричных задач. Сравните его с каким-нибудь более современным языком, запрограммировав этот этюд на обоих языках.
Длительность исполнения. Одному исполнителю на 1 неделю.
Развитие темы. Если в достаточной степени расширить задачу, то она послужит основой семестрового курса методов вычислений. Тем не менее вы можете получить дополнительную информацию о поведении ошибок, если вычислите |L| и |R| с использованием других норм, отличных от нормы по строкам, например нормы по столбцам:
Ниже определены нормы L1, L2 и L∞:
Дополните значениями этих норм вашу таблицу анализа ошибок. Наблюдаются ли какие-либо существенные отличия одной нормы от остальных по форме или приблизительному положению кривой ошибок?
Конт, де Боор (Conte S. D., de Boor С). Elementary Numerical Analysis, 2nd ed. McGraw-Hill, New York, NY, 1972.
Стьюарт (Stewart G. W.). Introduction to Matrix Computations. Academic Press, New York, NY, 1973.
Конт и де Боор написали превосходный учебник по основам методов вычислений, используемый во многих учебных заведениях. Он содержит куда больше информации по методам вычислений, чем могло бы понадобиться любому нормальному человеку. Если вы все же хотите узнать еще больше о задаче с матрицами, обратитесь к книге Стьюарта. Там описаны теория и практика линейной алгебры.
* Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Т. 1. Основные алгоритмы. Пер. с англ. — М.: Мир, 1976, упр. 1.2.3.45.
30
Фактически поиск максимального в столбце элемента М на шаге 3 алгоритма обращения есть одно из таких изменений. М называется ведущим элементом, а сама операция — выбором ведущего элемента; на самом деле необходимо лишь, чтобы М был ненулевым. Максимальный элемент используется, чтобы уменьшить арифметическую погрешность ЭВМ. При обращении матрицы Гильберта ведущим элементом всегда должен оказываться 
; если же алгоритм выбирает в качестве ведущего элемент, лежащий ниже, то это означает, что погрешность уже очень велика.