1. Планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, причем в одном из фокусов эллипса расположено Солнце.
На самом деле Кеплер открыл свой второй закон раньше первого. Он обнаружил, что Земля медленнее движется по своей орбите, когда она дальше от Солнца, и быстрее — когда ближе. Скорость перемещения по траектории не остается постоянной при движении по эллипсу вокруг Солнца, а ведет себя так:
2. Радиус-вектор, соединяющий Солнце с планетой, заметает одинаковые площади за одинаковое время.
Чтобы понять второй закон, представим заметаемую область в виде треугольника с вершиной у Солнца и основанием в виде короткой дуги, по которой планета перемещается по орбите за единицу времени. Треугольник будет узким и вытянутым, когда планета вдали от Солнца, и широким — когда она близко, но площади обоих треугольников будут равны (рис. 6.5).
Рис. 6.5. Первый закон Кеплера: планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам. Солнце расположено в одной из двух фокальных точек. Второй закон Кеплера: планета движется с переменной скоростью, так что радиус-вектор заметает равные площади за равные интервалы времени (то есть чем ближе к Солнцу, тем быстрее движется). Третий закон Кеплера: период обращения планеты вокруг Солнца зависит от размера ее орбиты так, что квадрат периода пропорционален кубу среднего расстояния от Солнца.
Третий закон Кеплера сравнивает размеры орбит и орбитальные периоды любых двух планет. Обычно их сравнивают с Землей, поэтому для любой планеты используют в качестве единицы времени земной год, а в качестве единицы длины — расстояние от Земли до Солнца (а. е.). Размер орбиты (а) равен половине большой оси эллипса. Размеры орбит и продолжительность полного оборота планеты по орбите (Р) связаны следующим образом:
3. Квадраты орбитальных периодов планет пропорциональны кубам полуосей их орбит.
Интересно посмотреть, с какой точностью Кеплер мог проверить свой третий закон, используя имеющиеся значения, приведенные в «Гармонии мира». В табл. 6.1 верхний ряд представляет квадрат орбитального периода Р для каждой планеты: Р2 = Р х Р (единица измерения — год). А нижний ряд точно так же представляет кубы «а» — среднего расстояния от Солнца: а3 = ах ах а (в единицах среднего расстояния Земли = 1 а. е.). Соответствующие наблюдательные ошибки в верхнем и нижнем рядах практически одинаковы.
Таблица 6.1. Значения орбитальных параметров, вычисленные Кеплером для проверки его третьего закона.
Кеплер работал в Праге до 1612 года. Это было самое плодотворное время в его карьере, несмотря на непрерывные экономические проблемы и личную трагедию (умерли его жена и маленький сын). В дополнение к «Новой астрономии» он опубликовал три книги по оптике (около четверти из опубликованных им работ посвящены свету и оптике).
В 1612 году его покровитель император Рудольф II умер, и Кеплер переехал в Линц работать преподавателем, примерно на таких же условиях, как и в Граце. После этого он вновь женился, и его юная жена родила ему семерых детей, из которых двое умерли в младенчестве. В 1626 году Кеплер покинул Линц по религиозным соображениям. Кеплер являл собой пример человека, способного решать сложные научные задачи, несмотря на множество невзгод. В последние годы жизни Кеплер писал о своих страданиях, которые уготовила ему странная судьба, постоянно сталкивая его с трудностями. И во всем этом он не видел своей вины.
Вместе со своей большой семьей Кеплер поселился в Ульме, где и опубликовал свою последнюю крупную работу «Рудольфовы таблицы», содержащую астрономические таблицы, основанные на наблюдениях Браге, новые законы движения планет и рекомендации для вычисления положений небесных объектов в любой момент времени.
Конец жизни Кеплера был унизительным. Несколько лет он пытался получить у императора Фердинанда II недоплаченное ему жалование, но безрезультатно. Надеясь получить свои и 817 гульденов, он даже прослужил два года астрологом у генерала Валленштейна, героя Тридцатилетней войны. Потеряв всякую надежду, Кеплер сел на лошадь и поехал в Регенсбург, где заседал рейхстаг Священной Римской империи. Это был ноябрь 1630 года; долгий путь верхом в плохую погоду по разрушенной войной Германии оказался слишком труден для слабого здоровья 58-летнего Кеплера. До города он доехал уже больным, продал свою худую лошадь всего за 2 гульдена и свалился в постель с высокой температурой. Спустя несколько дней он умер. Кеплера похоронили за городом, на лютеранском кладбище. В годы следующей долгой войны его могила была разрушена вместе с кладбищем.