В 1827 году Якоби приглашён экстраординарным профессором в Кёнигсбергский университет и в 1829 году получил там ординатуру. Это немыслимо быстрая карьера для совсем молодого человека, особенно в то время. Чтение лекций там он продолжал до 1842 года.
В 1827 году он начал свои исследования по теории эллиптических функций. Якоби наряду с Абелем считается создателем этого раздела математики. После значительного числа работ по различным вопросам, относящимся к этим функциям, в 1829 году он опубликовал фундаментальную монографию «Новые основания эллиптических функций». Здесь и в последующих работах он глубоко разработал теорию тэта-функций Якоби.
В вариационном исчислении Якоби исследовал вторую вариацию (1837) и получил достаточные условия экстремума, позже обобщённые Вейерштрассом (условия Якоби).
В 1840 году Якоби опубликовал блестящую алгебраическую работу «Об образовании и свойствах детерминантов», посвящённую теории определителей. Он первый применил эллиптические функции в теории чисел. Спустя полтора века именно на этом пути была доказана Великая теорема Ферма. Сам Якоби с помощью эллиптических функций доказал другое утверждение Ферма: каждое натуральное число можно представить в виде суммы не более 4 квадратов. Причём он сумел найти и число способов такого представления.
Имя Якоби носит класс ортогональных многочленов, обобщающих многочлены Лежандра.
Полное собрание сочинений Якоби в восьми томах было издано в 1881–1891 годах Берлинской академией наук. Якоби – член Берлинской академии наук (1836), Лондонского королевского общества (1833), член-корреспондент Парижской академии наук (1830), иностранный член-корреспондент Петербургской Академии наук (1830, с 1833 года – её почётный член), член Венской (1848) и член-корреспондент Мадридской академии (1848).
В честь Карла Якоби назван кратер на Луне.
Феликс Мендельсон родился в Гамбурге. Его дедом был великий философ еврейского Просвещения – Мозес Мендельсон. Отец Мендельсона, преуспевающий банкир, перешел в лютеранство и взял фамилию «Бартольди». Сам Феликс избегал употребления этой новой фамилии. У будущего композитора никогда не было недостатка в творческой и интеллектуальной среде. Дом его отца часто посещали такие корифеи науки и искусства как Гегель, Гумбольдт, Гофман, Гейне.
Феликс рано проявил талант к музыке. Он занимался у прославленных немецких музыкантов. Обладая невероятной творческой плодовитостью, Феликс в возрасте с 11 до 14 лет написал около 100 произведений, среди них 12 симфоний для струнных инструментов, 6 фортепианных сонат и оперу. В 17 лет он сочинил увертюру к комедии Шекспира «Сон в летнюю ночь», произведение, которое прославило его на века, так как в состав этой увертюры входит всем известный «Свадебный марш».
Мендельсон обладал многими талантами – был поэтом, художником, ученым, лингвистом. Он знал пять европейских языков, свободно читал по латыни и переводил стихи с древнегреческого, писал трактаты по философии и теологии.
Будучи великолепным дирижером, Мендельсон стал пропагандистом классической музыки, сумев возродить давно забытые произведения Баха, Генделя, Шуберта, Бетховена. Так, его очень отговаривали от попытки исполнить «Страсти по Матфею» Баха. Однако Мендельсон рискнул, и уже через десять дней «Страсти» Баха играли по всей Германии.
С 1829 по 1833 год он как пианист и дирижер объездил с турне всю Европу, с огромным успехом выступая в Англии, Шотландии, Франции, Италии и Швейцарии. Затем он возвращается на родину.
В 1833 году Мендельсона прочили в руководители Берлинской певческой академии, но из-за своего еврейского происхождения он получил отказ. Зато в 1835 году Мендельсон возглавил Лейпцигский оркестр «Гевандхауз» и вскоре сделал его лучшим в Германии. Здесь он снова удивил всех своим нововведением. Стоя за пультом, Феликс дирижировал палочкой, в то время как обычно капельмейстер либо стоял со скрипкой в руках, либо сидел за фортепиано. В 1843 году Мендельсон открыл первую в Германии – Лейпцигскую консерваторию.
Жизнь открывала перед ним блестящие перспективы, но в 1847 году в возрасте всего лишь 38 лет он внезапно умер от кровоизлияния в мозг. Эта болезнь была наследственной в его семье.
При жизни у Мендельсона почти не было конкурентов. Вся Европа чествовала его как величайшего композитора. Гёте называл его «Моцартом XIX века».