так что
(ds выпадает). И опять, как прежде, мы получили величину — mg(dh/dt), равную скорости изменения mgh.
Чтобы точно уяснить себе, как вообще соблюдается сохранение энергии в механике, рассмотрим сейчас некоторые полезные понятия.
Во-первых, рассмотрим скорость изменения кинетической энергий в общем трехмерном случае. Кинетическая энергия, когда движение имеет три измерения, равна
T =1/2m (v2x+v2y+v2z).
Дифференцируя ее по времени, получаем три устрашающих члена:
Но ведь m(dvx/dt) — это сила Fx, действующая на тело в направлении х. Значит, в правой части формулы (13.4) стоит Fxvx+Fyvy+Fzvz. Призвав на помощь векторный анализ, вспоминаем, что это F·v. Итак,
dT/dt=F·v (13.5)
А можно это вывести и быстрей: если а и b — два вектора, зависящих от времени, то производная от a·b равна
Подставим сюда а=b=v:
Так как понятие кинетической энергии и вообще энергии очень важно, то различным величинам в этих уравнениях присвоены разные имена: l/zmv2 называется, как известно, кинетической энергией; F·v называется мощностью: сила, действующая на тело, умноженная («скалярно») на скорость тела,— это мощность, сообщаемая телу этой силой. Получается великолепная теорема: скорость изменения кинетической энергии тела равна мощности, затраченной силами, действующими на тело. Но для изучения сохранения энергии анализ следует продолжить. Давайте оценим изменение кинетической энергии за очень короткое время dt. Умножив обе части уравнения (13.7) на dt, найдем, что изменение кинетической энергии равно силе, скалярно умноженной на дифференциал пройденного расстояния
dT=F·ds. (13.8)
А интегрируя, получаем
(13.9)
Что это значит? Это значит, что, как бы и по какой бы кривой траектории ни двигалось тело под действием силы, все равно изменение в к. э. при переходе от одной точки кривой к другой равно интегралу от компоненты силы вдоль кривой, умноженной на дифференциал смещения ds (интегрирование от первой точки до второй). И у этого интеграла есть имя: его называют работой, совершенной силой над телом. Немедленно мы обнаруживаем, что мощность — это работа за секунду. И еще мы замечаем, что работу производит только составляющая силы вдоль направления движения. В нашем первом простом примере участвовали только вертикальные силы с одной-единственной составляющей Fz, равной —mg. В этих обстоятельствах совершенно неважно, как тело движется, прямо вниз или по параболе, все равно от F·ds (которое можно написать как Fxdx+Fydy+Fzdz) остается только F^dz = -mgdz, потому что прочие составляющие силы — нули. Значит, в этом случае
так что в потенциальную энергию входит только высота, с которой тело падает.
Несколько слов о единицах. Так как сила измеряется в ньютонах, а для получения работы ее умножают на расстояние, то работу измеряют в единицах ньютон·метр, но большинство людей этого названия не любит, предпочитая название джоуль (дж). Это только другое слово, а единица та же. Итак, работу измеряют в джоулях. Мощность же — в джоулях в секунду; эту единицу называют ватт(вт). Если умножить ватты на время, то получим произведенную работу. Работу, которую местная энергосистема производит в наших квартирах (в техническом смысле), оценивается в ваттах, умноженных на время. Например, киловатт-час — это 1000 втX3600 сек, т. е. 3,6·106 дж.