Фейнмановские лекции по физике 1

Фиг. 6.5. Три примера случайного блуждания.

По горизонтали отложено число шагов N, по вертикали — координата

D(N), т. е. чистое расстояние от начальной точки.

(При построении их в качестве случайной последовательности решений о том, куда сделать следующий шаг, использовались результаты подбрасывания монеты, приведенные на фиг. 6.1.)

Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, можно спросить: как далеко мы в среднем продвинемся? Нужно ожидать, что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением N мы все с большей вероятностью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние, т. е. каково среднее значение \D\? Впрочем, удобнее иметь дело не с |D|, а с D²; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блужданий.

Можно показать, что ожидаемая величина D²_N равна просто N — числу сделанных шагов. Кстати, под «ожидаемой величиной» мы понимаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся процессов

блуждания. Эта величина обозначается как <D²_N> и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного

шага D² всегда равно +1, поэтому, несомненно, <D²₁> = 1. (За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины).

, Ожидаемая величина D²_N для N>1 может быть получена из d_n-1. Если после (N-1) шагов мы оказались на расстоянии D_N-1, то еще один шаг даст либо D_N=D_N--1+1, либо D_N=D_N-1 -1. Или для квадратов

(6.7)

Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятностью ^舣/₂, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая величина D²_N будет просто D²_N-1+1. Но какова величина D²_N_₁, вернее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение» <D²_N-1>, так что

<D²_N>=<D²_N-1+1. (6.8)

Если теперь вспомнить, что <D²₁> = 1, то получается очень простой результат:

<D2_N>=N. (6.9)

Отклонение от начального положения можно характеризовать величиной типа расстояния (а не квадрата расстояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из <.D²_N> и получить так называемое «среднее квадратичное расстояние» D_C-K:

D_C-K=Ц<D²> = ЦN. (6.10)

Мы уже говорили, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет, с которого мы начали эту главу. Если представить себе, что каждое продвижение вперед или назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то D_N будет просто равно N_o-N_P, т. е. разности числа выпадений «орла» и «решки». Или поскольку N_o+N_p=N(где N — полное число подбрасываний), то D_N= 2N_o-N. Вспомните, что раньше мы уже получали выражение для ожидаемого распределения величины n_o [она обозначалась тогда через k; см. уравнение (6.5)]. Ну а поскольку N — просто постоянная, то теперь такое же распределение получил ось и для D. (Выпадение каждого «орла» означает невыпадение «решки», поэтому в связи между n_o и D появляется множитель 2.) Таким образом, на фиг. 6.2 график представляет одновременно и распределение расстояний, на которые мы можем уйти за 30 случайных шагов k=15 соответствует D = 0, a k = 16 соответствует D= 2 и т. д.).