В качестве примера давайте найдем скорость падающего шара через 5 сек после начала падения. Один способ — это посмотреть по табл. 8.2, что происходило с шариком на пятой секунде. В течение этой секунды он прошел 45 м, так что, казалось бы, он падал со скоростью 45 м/сек. Однако это неверно, поскольку скорость его все время изменялась. Конечно, в среднем в течение этой секунды она составляла 45 м/сек, но в действительности шар ускорялся и в конце пятой секунды падал быстрее 45 м/сек. Наша задача состоит в том, чтобы определить скорость точно. Сделаем это следующим образом. Нам известно, где шарик находился через 5 сек. За 5 сек он прошел расстояние 125 м. К моменту 5,1 сек общее расстояние, которое прошел шарик, составит, согласно уравнению (8.1), 130,05 м. Таким образом, за дополнительную десятую долю секунды он проходит 5,05 м. А поскольку 5,05м за 0,1 сек то же самое, что и 50,5 м/сек, то это и будет его скорость. Однако это все еще не совсем точно. Для нас совершенно неважно, будет ли это скорость в момент 5 сек, или в момент 5,1 сек, или где-то посредине. Наша задача вычислить скорость точно через 5 сек, а этого мы пока не сделали. Придется улучшить точность и взять теперь на тысячную долю больше 5 сек, т. е. момент 5,001 сек, Полное расстояние, пройденное за это время, составляет
s=5·5,0012 = 5·25,010001=125,050005 м.
Следовательно, в последнюю тысячную долю секунды шарик проходит 0,050005 м, и если разделить это число на 0,001 сек, то получим скорость 50,005 м/сек. Это уже очень близко, но все же еще не точно. Однако теперь уже ясно, как поступить, чтобы найти скорость точно. Удобнее решать эту задачу в несколько более общем виде. Пусть требуется найти скорость в некоторый момент времени t0 (например, 5 сек). Расстояние, которое пройдено к моменту t0 (назовем его s0), будет 5t20 (в нашем случае 125 м). Чтобы определить расстояние, мы задавали вопрос: где окажется тело спустя время t0+ (небольшой добавок), или t0+e? Новое положение тела будет 5(t0+e)2=5t20+10t0e+5e2. (Это расстояние больше того расстояния, которое шарик прошел за t0 сек, т. в. больше 5t20.) Назовем это расстояние s0+ (небольшой добавок), или s0+x. Если теперь вычесть из него расстояние, пройденное к моменту t0, то получим х — то дополнительное расстояние, которое шарик прошел за добавочное время e, т. е. x=10t0e+5e2. Так что в первом приближении скорость будет равна
v=x/e=10t0+5e. (8.4)
Теперь мы уже знаем, что нужно делать, чтобы получить скорость точно в момент t0: нужно брать отрезок e все меньше и меньше, т. е. устремлять его к нулю. Таким путем из уравнения (8.4) получим
v (в момент t0)=10t0,
В нашей задаче t0=5 сек, следовательно, скорость равна v=10·5=50 м/сек. Это и есть нужный ответ. Раньше, когда e бралось равным 0,1 и 0,001 сек, получалась несколько большая величина, чем 50 м/сек, но теперь мы видим, что в действительности она в точности равна 50 м/сек.
§ 3. Скорость как производная
Процедура, которую мы только что выполнили, настолько часто встречается в математике, что для величин e и x: было придумано специальное обозначение: e обозначается как Dt, а х — как Ds. Величина Dt означает «небольшой добавок к t», причем подразумевается, что этот добавок можно делать меньше. Значок D ни в коем случае не означает умножение на какую-то величину, точно так же как sinq не означает s·i·n·q. Это просто некоторый добавок ко времени, причем значок D напоминает нам о его особом характере. Ну, а если D не множитель, то его нельзя сократить в отношении Ds/Dt. Это все равно, что в выражении sinq/sin2q сократить все буквы и получить 1/2. В этих новых обозначениях скорость равна пределу отношения Ds/Dt при Dt, стремящемся к нулю, т. е.