vx=dx/dt (8.11)
а вертикальная составляющая, или y-компонента, равна
vy=dy/dt (8.12)
В случае трех измерений необходимо еще добавить
vz=dz/dt. (8.13)
Как, зная компоненты скорости, определить полную скорость в направлении движения? Рассмотрим в двумерном случае два последовательных положения частицы, разделенных коротким интервалом времени Dt = t2-t1 и расстоянием Ds. Из фиг. 8.3 видно, что
(Значок » соответствует выражению «приблизительно равно».)
Фиг. 8.3. Описание движения тела на плоскости и вычисление его скорости.
Средняя скорость в течение интервала Dt получается простым делением: Ds/Dt. Чтобы найти точную скорость в момент t, нужно, как это уже делалось в начале главы, устремить Dt к нулю. В результате оказывается, что
В трехмерном случае точно таким же способом можно получить
Ускорения мы определяем таким же образом, как и скорости: x-компонента ускорения ах определяется как производная от x-компоненты скорости vx (т. е. ax=d2x/dt2 — вторая производная по времени) и т. д.
Давайте рассмотрим еще один интересный пример смешанного движения на плоскости. Пусть шарик движется в горизонтальном направлении с постоянной скоростью u и в то же время падает вертикально вниз с постоянным ускорением g. Что это за движение? Так как vx=dxldt=u и, следовательно, скорость vx постоянна, то
x=ut, (8.17)
а поскольку ускорение движения вниз постоянно и равно -g, то координата у падающего шара дается формулой
y= -1/2gt2. (8.18)
Какую же кривую описывает наш шарик, т. е. какая связь между координатами x и y? Из уравнения (8.18), согласно (8.17), можно исключить время, поскольку t=x/u, после чего находим
y=-(g/2u2)x2 (8.19)
Эту связь между координатами х и у можно рассматривать как уравнение траектории движения шарика. Если изобразить ее графически, то получим кривую, которая называется параболой (фиг. 8.4).
Фиг. 8.4. Парабола, которую описывает падающее тело, брошенное с горизонтальной начальной скоростью.
Так что любое свободно падающее тело, будучи брошенным в некотором направлении, движется по параболе.
Глава 9
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
§ 1. Импульс и сила
§ 2. Компоненты скорости, ускорения и силы
§ 3. Что такое сила?
§ 4. Смысл динамических уравнений
§ 5. Численное решение уравнении
§ 6. Движение планет
§ 1. Импульс и сила
Открытие законов динамики или законов движения стало одним из наиболее драматических моментов в истории науки. До Ньютона движение различных тел, например планет, представлялось загадкой для ученых, но после открытия Ньютона все вдруг сразу стало понятно. Смогли быть вычислены даже очень слабые отклонения от законов Кеплера, обусловленные влиянием других планет. Движение маятника, колебания груза, подвешенного на пружине, и другие непонятные до того явления раскрыли свои загадки благодаря законам Ньютона. То же самое можно сказать и об этой главе. До нее вы не могли рассчитать, как движется грузик, прикрепленный к пружине, не говоря уже о том, чтобы определить влияние Юпитера и Сатурна на движение Урана. Но после этой главы вам будет доступно и то и другое!