Таким образом, эти преобразования выявили четыре величины, которые преобразуются подобно х, у, z, t. Назовем их четырехвектор импульса. Так как импульс — это четырехвектор, его можно изобразить на диаграмме пространства-времени движущейся частицы в виде «стрелки», касательной к пути (фиг. 17.4).
Фиг. 17.4. Четырехвектор импульса частицы.
У этой стрелки временная компонента дает энергию, а пространственные — тривектор импульса; сама стрелка «реальнее», чем один только импульс или одна лишь энергия: ведь и импульс, и энергия зависят от нашей точки зрения.
§ 5. Алгебра четырехвекторов
Четырехвекторы обозначаются иначе, чем тривекторы. Например, тривектор импульса обозначают р. Если хотят дать более детальную запись, то говорят о трех компонентах рх ,pу, рz; можно писать и короче рi , оговаривая, что i принимает три значения х, у и z. Для четырехвекторов мы будем применять похожее обозначение: будем писать рm , а m. пусть заменяет собой четыре направления t, x, у, z.
Конечно, можно пользоваться любыми обозначениями. Не улыбайтесь, что мы так много говорим об обозначениях; учитесь изобретать их: в них вся сила. Ведь и сама математика в значительной степени состоит в изобретении лучших обозначений. Идея четырехвектора — это тоже усовершенствование обозначений с таким расчетом, чтобы преобразования было легче запомнить.
Итак, Аm — это общий четырехвектор, рm — четырехимпульс, pt — энергия, рх— импульс в направлении х, рy— в направлении у, pz— в направлении z. Складывая четырехвекторы, складывают их соответствующие компоненты.
Если четырехвекторы связаны каким-то уравнением, то это значит, что уравнение выполняется для любой компоненты. Например, если закон сохранения тривектора импульса соблюдается в столкновении частиц, т. е. сумма импульсов множества взаимодействующих или сталкивающихся частиц постоянна, то это означает, что сумма всех компонент импульсов постоянна и в направлении х, и в направлении у, и в направлении 2. Сам по себе такой закон в теории относительности невозможен: он неполон; это все равно, что говорить только о двух компонентах тривектора. Неполон он потому, что при повороте осей разные компоненты смешиваются, значит, в закон сохранения должны войти все три компоненты. Таким образом, в теории относительности нужно дополнить закон сохранения импульса, включив в него сохранение временной компоненты. Абсолютно необходимо, чтобы сохранение первых трех компонент сопровождалось сохранением четвертой, иначе не получится релятивистской инвариантности. Четвертое уравнение — это как раз сохранение энергии; оно должно сопровождать сохранение импульса для того, чтобы четырехвекторные соотношения в геометрии пространства-времени были справедливы. Итак, закон сохранения энергии и импульса в четырехмерном обозначении таков:
или в чуть измененных обозначениях:
где i=l, 2, ... относится к сталкивающимся частицам, j=1, 2,... — к частицам, возникающим при столкновении, а m=x, у, z или t. Вы спросите: «А что по осям координат?» Это неважно. Закон верен для любых компонент, при любых осях.