то, поскольку М постоянна, уравнение (18.3) перейдет в
Таким образом, внешняя сила равна полной массе, умноженной на ускорение некоторой точки R; эта точка и называется центром масс тела. Она расположена где-то в «середине» тела — некое среднее r, в котором различные ri учитываются в зависимости от их важности, т. е. в зависимости от того, какую долю вносят они в полную массу.
Мы подробно обсудим эту важную теорему несколько позднее, а сейчас остановимся на двух примерах. Пусть на тело не действуют никакие внешние силы, скажем, оно плавает где-то в пустом пространстве. Оно может делать все, что ему угодно: крутиться, покачиваться, изгибаться, но при этом его центр масс, эта искусственно выделенная нами математическая точка, должен двигаться, с постоянной скоростью. В частности, если вначале этот центр покоился, то он так и будет покоиться все время. Поэтому если мы возьмем какой-то космический корабль со всеми его пассажирами, вычислим его центр масс и обнаружим, что он стоит на месте, то можно быть уверенным, что центр масс так и останется на месте, если только на корабль не будут воздействовать какие-то внешние силы. Сам корабль, конечно, может немного перемещаться, но это потому, что пассажиры внутри корабля ходят взад и вперед. Так, если все пассажиры одновременно перейдут в носовую часть, то корабль немного подастся назад, чтобы среднее положение всех масс осталось в точности на том же самом месте.
Означает ли это, что в результате неподвижности центра масс ракета не может двигаться вперед? Конечно, нет, но, чтобы продвинуть вперед интересующую нас часть ракеты, мы что-то должны выбросить назад. Иными словами, если вначале ракета покоилась, а затем выбросила из сопла некоторое количество газа, то газ этот полетит назад, а сама ракета полетит при этом вперед, однако центр масс останется точно на том же месте, где он был и раньше. Так что в ракете интересующая нас часть продвинется вперед за счет другой, которая улетит назад.
Второе замечание относительно движения центра масс. Его можно рассматривать отдельно от всех «внутренних» движений тела и, следовательно, его можно не учитывать при изучении вращения. Собственно поэтому мы начали изучать вращения с центра масс.
§ 2. Вращение твердого тела
Поговорим теперь о вращении. Как известно, обычные предметы не вращаются просто так: они колеблются, вибрируют, изгибаются. Поэтому, чтобы упростить рассуждения, рассмотрим движение несуществующего идеального объекта, который мы назвали твердым телом. В таком объекте связи между атомами столь сильны, что те небольшие силы, которые необходимы, чтоб привести его в движение, не могут деформировать тело. Форма его все время остается одной и той же. Если мы хотим изучить движение такого тела и условимся не принимать во внимание движение его центра масс, то ему остается лишь вращаться. Вот это вращение мы и должны описать. Каким образом? Предположим, что в теле существует какая-то воображаемая неподвижная линия (она может проходить через центр масс, а может и не проходить); вокруг этой линии, как вокруг оси, вращается наше тело. Но как все-таки определить, что такое вращение? Сделать это совсем просто. Отметив какую-то точку на теле, где угодно, только не на оси, и зная, куда она перешла через некоторый промежуток времени, мы точно можем сказать, в каком положении находится тело. Единственное, что нужно знать для описания положения точки, - это угол. Таким образом, изучение вращения заключается в изучении изменения угла со временем.
Чтобы описать вращение, измерим угол, на который поворачивается тело. Разумеется, речь идет не об угле между двумя точками внутри самого тела или на теле, а об угловом изменении положения всего тела как целого от одного момента времени до другого.
Сначала давайте разберемся с кинематикой вращения. Изменение угла со временем очень похоже на изменение положения при одномерном движении; для плоского вращения мы можем говорить об угловом положении и угловой скорости. Между этими двумя движениями — плоским вращением и одномерным перемещением — существует очень интересная связь: почти каждая величина в одном случае имеет свой аналог в другом. Прежде всего угол q, указывающий, насколько повернулось тело, соответствует пройденному точкой расстоянию s. Угловая скорость w=dq/dt, которая показывает, с какой быстротой изменяется угол, соответствует обычной скорости v=ds/dt, описывающей быстроту изменения положения. Если угол измеряется в радианах, то угловая скорость w равна какому-то числу радиан в секунду. Чем больше угловая скорость, тем быстрее вращается объект и тем быстрее изменяется угол. Если продифференцировать угловую скорость по времени, то получим величину a=dw/dt, которую мы будем называть угловым ускорением. Оно может служить аналогом обычного ускорения.