Подумаем, как решить наши уравнения. Общая идея очень проста. Если вычислить 101 и 101/10, и 101/100, и 101/1000, и т. д., а затем перемножить результаты, то мы получим 101,414..., или 10 Ц2 . Поступая так, мы решим любую задачу такого рода. Однако вместо 101/10 и т. д. мы будем вычислять 101/2, 101/4 и т. д. Прежде чем начинать вычисления, объясним еще, почему мы обращаемся к числу 10 чаще, чем к другим числам. Мы знаем, что значение таблиц логарифмов выходит далеко за рамки математической задачи вычисления корней, потому что
logb(ac)= logba+logbc. (22.3)
Это хорошо известно всем, кто пользовался таблицей логарифмов, чтобы перемножить числа. По какому же основанию b брать логарифмы? Это безразлично; ведь в основу таких вычислений положен только принцип, общее свойство логарифмической функции. Вычислив логарифмы один раз по какому-нибудь произвольному основанию, можно перейти к логарифмам по другому основанию при помощи умножения. Если умножить уравнение (22.3) на 61, то оно останется верным, поэтому если перемножить все числа в таблице логарифмов по основанию b на 61, то можно будет пользоваться и такой таблицей. Предположим, что нам известны логарифмы всех чисел по основанию b. Иначе говоря, можно решить уравнение bа=с для любого с; для этого существует таблица. Задача состоит в том, как найти логарифм этого же числа с по другому основанию, например х. Нам нужно решить уравнение ха'=с. Это легко сделать, потому что х всегда можно представить так: x=bt. Найти t, зная х и b, просто: t=logbx. Подставим теперь х=bt в уравнение xa' =с; оно перейдет в такое уравнение: (bt)а'=bta'=с. Иными словами, произведение ta' есть логарифм с по основанию b. Значит, a'=a/t. Таким образом, логарифмы по основанию х равны произведениям логарифмов по основанию b на постоянное число 1/t. Следовательно, все таблицы логарифмов эквивалентны с точностью до умножения на число 1/logbx. Это позволяет нам выбрать для составления таблиц любое основание, но мы решили, что удобнее всего взять за основание число 10. (Может возникнуть вопрос: не существует ли все-таки какого-нибудь естественного основания, при котором все выглядит как-то проще? Мы попытаемся ответить на этот вопрос позднее. Пока все логарифмы будут вычисляться по основанию 10.)
Теперь посмотрим, как составляют таблицу логарифмов. Работа начинается с последовательных извлечений квадратного корня из 10. Результат можно увидеть в табл. 22.1. Показатели степеней записаны в ее первом столбце, а числа 10S— в третьем. Ясно, что 101=10. Возвести 10 в половинную степень легко — это квадратный корень из 10, а как извлекать квадратный корень из любого числа, знает каждый. Итак, мы нашли первый квадратный корень; он равен 3,16228. Что это дает? Кое-что дает.
Таблица 22.1 · последовательные извлечения
КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ 10
Мы уже можем сказать, чему равно 100,5, и знаем по крайней мере один логарифм. Логарифм числа 3,16228 очень близок к 0,50000. Однако нужно еще приложить небольшие усилия: нам нужна более подробная таблица. Извлечем еще один квадратный корень и найдем 101/4,что равно 1,77828. Теперь мы знаем еще один логарифм: 1,250— это логарифм числа 17,78; кроме того, мы можем сказать, чему равно 100,75: ведь это 10(0,5+0,25), т. е. произведение второго и третьего чисел из третьего столбца табл. 22.1. Если сделать первый столбец таблицы достаточно длинным, то таблица будет содержать почти все числа; перемножая числа из третьего столбца, мы получаем 10 почти в любой степени. Такова основная идея таблиц. В нашей таблице содержится десять последовательных корней из 10; основной труд по составлению таблицы вложен в вычисления этих корней.
Почему же мы не продолжаем повышать точность таблиц дальше? Потому что мы кое-что уже подметили. Возведя 10 в очень малую степень, мы получаем единицу с малой добавкой. Это, конечно, происходит потому, что если возвести, например, 101/1000 в 1000-ю степень, то мы снова получим 10; ясно, что `01/1000 не может быть большим числом: оно очень близко к единице. Более того, малые добавки к единице ведут себя так, будто их каждый раз делят на 2; поглядите-ка на таблицу повнимательнее: 1815 переходит в 903, потом в 450, 225 и т. д. Таким образом, если вычислить еще один, одиннадцатый, квадратный корень, он с большой точностью будет равен 1,00112, и этот результат мы угадали еще до вычисления. Можно ли сказать, какова будет добавка к единице, если возвести 10 в степень D/1024, когда D стремится к нулю? Можно. Добавка будет приблизительно равна 0,0022511D. Конечно, не в точности 0,0022511 D; чтобы вычислить эту добавку поточнее, делают такой трюк: вычитают из 10S единицу и делят разность на показатель степени s. Отклонения полученного таким образом частного от его точного значения одинаковы для любой степени s. Видно, что эти отношения (см. четвертый столбец табл. 22.1) примерно равны. Сначала они все-таки сильно отличаются друг от друга, но потом все ближе подходят друг к другу, явно стремясь к какому-то числу. Что это за число? Проследим, как меняются числа четвертого столбца, если опускаться вниз по столбцу. Сначала разность двух соседних чисел равна 0,0211, потом 0,0104, потом 0,0053 и, наконец, 0,0026. Разность каждый раз убывает наполовину. Сделав еще один шаг, мы доведем ее до 0,0013, потом до 0,0007, 0,0003, 0,0002 и, наконец, примерно до 0,0001; надо последовательно делить 26 на 2. Таким образом, мы спустимся еще на 26 единиц и найдем для предела