Легко найти само число е; оно равно 101/2,3025 или 100,434294... Это 10 в иррациональной степени. Для вычисления е можно воспользоваться таблицей корней из 10. Представим 0,434294... сначала в виде 444,73/1024, а числитель этой дроби в виде суммы 444,73=256+128+32+16+2+0,73. Число е поэтому равно произведению чисел
(1,77828)·(1,33352)·(1,074607)·(1,036633)·(1,018152)X(1,009035)(1,001643) =2,7184.
(Числа 0,73 нет в нашей таблице, но соответствующий ему результат можно представить в виде 1+2,3025D и вычислить, чему равна D.) Перемножив все 7 сомножителей, мы получим 2,7184 (на самом деле должно быть 2,7183, но и этот результат хорош). Используя такие таблицы, можно возводить число в иррациональную степень и вычислять логарифмы иррациональных чисел. Вот как надо обращаться с иррациональностями.
§ 5. Комплексные числа
Хотя мы хорошо поработали, все-таки есть еще уравнения, которые нам не под силу! Например, чему равен квадратный корень из -1? Предположим, что это х, тогда х2=-1. Нет ни рационального, ни иррационального числа, квадрат которого был бы равен -1. Придется снова пополнить запас чисел. Предположим, что уравнение х2=-1 все же имеет решение, и обозначим это решение буквой i; число i имеет пока только одно свойство: будучи возведенным в квадрат, оно дает -1. Вот пока и все, что можно о нем сказать. Однако уравнение х2=-1 имеет два корня. Буквой i мы обозначили один из корней, но кто-нибудь может сказать: «А я предпочитаю иметь дело с корнем -i; моя буква i просто минус ваша i». Возразить ему нечего, потому что число i определяется соотношением i2=-1; это соотношение останется верным, если изменить знак i. Значит, любое уравнение, содержащее какое-то количество i, останется верным, если сменить знаки у всех i. Такая операция называется комплексным сопряжением. Далее, ничто не мешает нам получать новые числа вот так: сложить i несколько раз, умножить i на какое-нибудь наше старое число, прибавить результат умножения к старому числу и т. д. Все это можно сделать, не нарушая ранее установленных правил. Таким образом мы приходим к числам, которые можно записать в виде p+iq, где p и q — числа, с которыми мы имели дело ранее, их называют действительными числами. Число i называют мнимой единицей, а произведение действительного числа на мнимую единицу — чисто мнимым числом. Самое общее число а имеет вид a=p+iq, и его называют комплексным числом. Обращаться с комплексными числами несложно; например, нам надо вычислить произведение (r+is)(p+q). Вспомнив о правилах, мы получим
(r+is)(p+iq)=rp+r(iq)+(is)p+(is)(iq)=rp+i(rq)+i(sp)+(ii)(sq)=(rp-sq)+i(rq+sp), (22.4)