Давайте обсудим, как найти коэффициенты А и В (или А и A*), если известны начальные условия. Предположим, что в момент t=0 нам известны смещение х=х0 и скорость dx/dt=v0. Если в соотношения
подставить значения t=0, х=х0, dx/dt=v0 и воспользоваться тем, что е0=еi0=1, то мы получим
x0=A+A*=2AR,
Значит,
Таким образом, зная начальные условия, мы полностью определили А и А*, а значит, и кривую переходного решения. Можно записать решение и по-другому. Вспомним, что
eiq+e-iq=2cosq и eiq- e-iq=2isinq, тогда
где wg=+Ц(w20-(g2/4). Мы получили формулу затухающих колебаний. Такая формула нам не понадобится, однако отметим ее особенности, справедливые и в более общих случаях.
Прежде всего поведение системы, на которую не действует внешняя сила, описывается суммой (суперпозицией) временных экспонент [мы записали их в виде exp(iat)]. Такое решение хорошо передает истинное положение вещей. В общем случае a — это комплексное число, и его мнимая часть соответствует затуханию колебаний. Наконец, тесная математическая связь синусоидальных и экспоненциальных функций, о которой говорилось в гл. 22, физически часто проявляется в переходе от колебаний к чисто экспоненциальному затуханию при критических значениях некоторых параметров системы (в нашем случае это было сопротивление g).
Глава 25
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЗОР
§ 1. Линейные дифференциальные уравнения
§ 2. Суперпозиция решений
§ 3. Колебания в линейных системах
§ 4. Аналогии в физике
§ 5. Последовательные и параллельные сопротивления
§ 1. Линейные дифференциальные уравнения
В этой главе мы снова вернемся к некоторым аспектам наших колебательных систем, только постараемся теперь увидеть нечто более общее, стоящее за спиной каждой частной системы. Изучение каждой колебательной системы сводилось к решению дифференциального уравнения
Эта комбинация «операций» над переменной х обладает интересным свойством: если вместо х подставить (х+у), получится сумма одинаковых операций над х и y, а умножение х на число а сводится к умножению на это число первоначальной комбинации. Это легко доказать. Чтобы не переутомиться, записывая все буквы, вошедшие в (25.1), давайте введем «скорописные» обозначения. Обозначим всю левую часть уравнения (25.1) символом L(х). Увидев такой символ, вы должны мысленно представить себе левую часть уравнения (25.1). Поэтому, согласно этой системе, символ L(x+y) будет означать следующее:
(Подчеркнем букву L, чтобы не спутать этот символ с обычной функцией.) Иногда мы будем употреблять термин операторная запись, но совершенно безразлично, какими словами это называть, просто-напросто это «скоропись». Наше первое утверждение, что
L(x+y)=L(x)+L(y), (25.3)
следует из соотношений а(х+у)=ах+ау, d(x+y)/dt=dx/dt+-dy/dt и т. д.