Фейнмановские лекции по физике 2a

х=Acosw_ot+Bsinw₀t;

поскольку нам понадобится и скорость, продифференцируем х и получим

v=-w₀Asinw₀t+w₀Bcosw₀t.

Эти выражения справедливы для всех t, но у нас есть дополнительные сведения о величинах х и v при t=0. Таким образом, если положить t=0, мы должны получить слева х₀ и v₀, ибо это то, во что превращаются х и v при t=0. Кроме того, мы знаем, что косинус нуля равен единице, а синус нуля равен нулю. Следовательно,

х₀=А·1+В·0=А

и

v_u=-w₀A·0+w₀B·1=w₀B.

Таким образом, в этом частном случае

А=х₀, В=v₀/w₀.

Зная А и В, мы можем, если пожелаем, найти а и D.

Итак, задача о движении осциллятора решена, но есть одна интересная вещь, которую надо проверить. Надо выяснить, сохраняется ли энергия. Если нет сил трения, то энергия должна сохраняться. Сейчас нам удобно использовать формулы

х=acos(w_ot+D) и v=-w₀asin(w₀t+D).

Давайте найдем кинетическую энергию Т и потенциальную энергию U. Потенциальная энергия в произвольный момент времени равна ¹/₂kx², где х — смещение, a k — постоянная упругости пружинки. Подставляя вместо х написанное выше выражение, найдем

U=¹/₂kx²=¹/₂ka²cos² (w₀t+D).

Разумеется, потенциальная энергия зависит от времени; она всегда положительна, это тоже понятно: ведь потенциальная энергия — это энергия пружины, а она изменяется вместе с х. Кинетическая энергия равна ¹/₂mv²; используя выражение для v, получаем

Т = ¹/₂mv²=¹/₂mw²₀a²sin²(w₀t+D).

Кинетическая энергия равна нулю при максимальном х, ибо в этом случае грузик останавливается; когда же грузик проходит положение равновесия (x=0), то кинетическая энергия достигает максимума, потому что именно тогда грузик движется быстрее всего. Изменение кинетической энергии, таким образом, противоположно изменению потенциальной энергии. Полная энергия должна быть постоянной. Действительно, если вспомнить, что k=mw²₀, то

T+U=¹/₂mw²₀а² [cos² (w₀t+D)+sin² (w₀t+D)] =¹/₂rnw²₀a².

Энергия зависит от квадрата амплитуды: если увеличить амплитуду колебания вдвое, то энергия возрастет вчетверо. Средняя потенциальная энергия равна половине максимальной и, следовательно, половине полной; средняя кинетическая энергия также равна половине полной энергии.