Фиг. 30.7. Далекий источник отбрасывает тень от непрозрачного предмета на экран.
Представим себе эти эффективные источники в виде большого количества близко расположенных антенн и найдем интенсивность в некоторой точке Р. Это очень похоже на то, чем мы занимались до сих пор. Но не вполне, поскольку наш экран теперь находится не на бесконечности. В данном случае нас интересует интенсивность интерферирующих лучей на конечном расстоянии, а не на бесконечности. Интенсивность в некоторой точке дается суммой вкладов от каждой антенны. Сначала возьмем антенну в точке D, прямо напротив Р. Если слегка изменить угол, скажем, подняться на высоту h, лучу потребуется больше времени, чтобы попасть в точку Р (амплитуда тоже изменится, так как расстояние до источника увеличилось, но разница эта очень мала, поскольку расстояние все равно велико, и гораздо менее важна, чем изменение фазы излучения). Далее, разность EP-DP равна h2/2s, т. е. разность фаз пропорциональна квадрату удаления от точки D, тогда как раньше у нас s было бесконечно и разность фаз была линейно связана с /г. Когда фазы зависят от h линейно, каждый вектор повернут относительно предыдущего на постоянный угол. Теперь же мы должны построить кривую, складывая бесконечно малые векторы при условии, что образуемый ими угол с осью абсцисс растет с увеличением длины кривой не линейным, а квадратичным образом. Явный вид кривой находится с помощью довольно сложных математических методов, но мы всегда можем построить эту кривую, просто откладывая векторы под требуемым углом. В конечном счете мы получаем замечательную кривую (называемую спиралью Корню), изображенную на фиг. 30.8. Как ею пользоваться? Р. Пусть требуется определить интенсивность, скажем, в точке
Сложим волны с разными фазами от точки D вверх до бесконечности и вниз от D до точки Вр. Таким образом, нужно отложить ряд стрелок под постоянно растущим углом, начиная с точки Вр на фиг. 30.8.
Фиг. 30.9, Ход интенсивности вблизи края тени. Геометрический край menu находится в точке х0 .
Весь вклад от области над Вр дается спиральной кривой. Если бы суммирование заканчивалось в некоторой точке, то полная амплитуда представилась бы вектором от Вр до этой точки; в нашем случае суммирование ведется до бесконечности, так что искомая амплитуда есть вектор Врx. Точка на кривой, соответствующая точке Вр на предмете, зависит от положения точки Р, потому что точка D кривой (точка перегиба) всегда относится к выбранной точке Р. Следовательно, в зависимости от положения Р над В начальная точка, откуда проводится вектор, попадает в разные места нижней спирали, и результирующий вектор ВрҐ имеет многочисленные максимумы и минимумы (фиг. 30.9).
Но если мы находимся в точке Q, по другую сторону от Р, то нам понадобится только верхний конец спиральной кривой. Другими словами, начальной точкой результирующего вектора будет не D, a BQ, и, следовательно, книзу от Р интенсивность должна непрерывно падать при удалении Q в область тени.
Есть одна величина, которую можно легко вычислить сразу и таким образом убедиться, что мы здесь что-то понимаем,— это интенсивность в точке, лежащей прямо против края. Эта интенсивность равна 1/4 от интенсивности падающего света. Причина: для точки, лежащей против края предмета (когда Вр совпадает с D на фиг. 30.8), получается половина кривой в отличие от целой кривой, которая была бы получена, если бы точки лежали достаточно далеко в освещенной области. Если точка R расположена достаточно высоко, результирующий вектор проводится от центра одной спирали до центра другой, а для точки на краю тени амплитуда равна половине этого вектора; следовательно, отношение интенсивностей получается равным 1/4.