В качестве упражнения предлагаем читателю найти ряд Фурье для функции, показанной на фиг. 50.3.
Фиг. 50.3. Ступенчатая функция. f(t)=+1 для 0<t<T/2 ,
f(t)=-1 для T/2<t<T.
Поскольку эту функцию нельзя записать в точной алгебраической форме, то брать интеграл от 0 до Т обычным способом невозможно. Однако если разделить его на две части: по интервалу от 0 до T/2 [на котором функция f(t)=1] и по интервалу от T/2 до T [на котором f(t) -1], то интеграл легко берется. В результате должно получиться
где w=2p/T. Таким образом, оказывается, что для нашей ступенчатой волны (со специально выбранной фазой) будут только нечетные гармоники, причем их амплитуды обратно пропорциональны частотам.
Давайте проверим, что для некоторого значения t результат (50.19) действительно дает снова f(t). Возьмем f = T/4или wt=p/2. Тогда
Сумма этого ряда равна p/4, а, стало быть, f(T)=1 .
§ 5. Теорема об энергии
Энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды.
Для сложной волны энергия за один период пропорциональна m
Эту энергию можно связать с коэффициентами Фурье.
Напишем
После раскрытия квадрата в правой части мы получим сумму всевозможных перекрестных членов типа a5cos5wtb7cos7wt. Однако выше мы уже показали [уравнения (50.11) и (50.12)], что интегралы от всех таких членов по одному периоду равны нулю, так что останутся только квадратные члены, подобные a25cos25wt. Интеграл от любого квадрата косинуса или синуса по одному периоду равен Т/2, так что получаем
Это уравнение называют «теоремой об энергии», которая говорит, что полная энергия волны равна просто сумме энергий всех ее фурье-компонент. Применяя, например, эту теорему к ряду (50.19), мы получаем
поскольку [f(t)]2=1. Таким образом мы узнали, что сумма квадратов обратных нечетных чисел равна p2/8. Точно так же, выписав сначала ряд Фурье для функции и используя затем теорему об энергии, можно доказать результат, понадобившийся нам в гл. 45, т. е. что 1+1/24+1/34+... равно p4/90.
§ 6. Нелинейная реакция
Наконец, в теории гармоник есть одно очень важное явление, которое необходимо отметить, учитывая его практическую важность, но это уже относится к области нелинейных эффектов. Во всех рассмотренных нами до сих пор системах все предполагалось линейным; реакция на действие силы, например перемещение или ускорение, всегда была пропорциональна силам. Токи в электрической цепи были тоже пропорциональны напряжениям и т. д. Теперь мы хотим рассмотреть случаи, когда строгая пропорциональность отсутствует. Представим на минуту устройство, реакция которого xвыход=xвых в момент t определяется внешним воздействием xвход = xвх в тот же момент t.