Теперь мы хотим записать закон Гаусса на языке производных. Чтобы это сделать, применим его к поверхности бесконечно малого куба. В гл. 3 мы показали, что поток Е из такого куба равен дивергенции С·Е, помноженной на объем dV куба. Заряд внутри dV по определению r равен rdV, так что закон Гаусса дает
или
(4.38)
Дифференциальная форма закона Гаусса — это первое из наших фундаментальных уравнений поля в электростатике, уравнение (4.5). Мы теперь показали, что два уравнения электростатики (4.5) и (4.6) эквивалентны закону силы Кулона. Разберем один пример применения закона Гаусса (другие примеры будут рассмотрены позже).
§ 7. Поле заряженного шара
Одной из самых трудных задач, которую пришлось нам решать, когда мы изучали теорию гравитационного притяжения, было доказать, что сила, создаваемая твердым шаром на его поверхности, такая же, как если бы все вещество шара было сконцентрировано в его центре. Много лет Ньютон не решался обнародовать свою теорию тяготения, так как не был уверен в правильности этой теоремы. Мы доказали ее в вып. 1, гл. 13, взяв интеграл для потенциала и вычислив силу тяготения по градиенту. Теперь эту теорему мы можем доказать очень просто. Но на этот раз мы докажем не совсем ее, а сходную теорему для однородно заряженного электричеством шара. (Поскольку законы электростатики и тяготения совпадают, то то же доказательство может быть проведено и для поля тяготения.)
Зададим вопрос: каково электрическое поле Е в точке Р где-то снаружи сферы, наполненной однородно распределенным зарядом? Так как здесь нет «выделенного» направления, то законно допустить, что Е всюду направлено прямо от центра сферы. Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность, концентрическую со сферой зарядов и проходящую через точку Р (фиг. 4.11). Для этой сферы поток наружу равен
Фиг. 4.11. Применение закона Гаусса для определения поля однородно заряженного шара.
1 — распределение заряда r; 2 — гауссово поверхность S.
Закон Гаусса утверждает, что этот поток равен суммарному заряду сферы Q (деленному на e0):
или
(4.39)
а это как раз та формула, которая получилась бы для точечного заряда Q. Мы решили проблему Ньютона проще, без интеграла. Конечно, это кажущаяся простота; вам пришлось затратить какое-то время на то, чтобы разобраться в законе Гаусса, и вы можете думать, что на самом деле время нисколько не сэкономлено. Но когда вам придется часто применять эту теорему, то она практически окупится. Все дело в привычке.
§ 8. Линии поля; эквипотенциальные поверхности
Теперь мы собираемся дать геометрическое описание электростатического поля. Два закона электростатики: один — о пропорциональности потока и внутреннего заряда и другой — о том, что электрическое поле есть градиент потенциала, могут также быть изображены геометрически. Мы проиллюстрируем это двумя примерами.
Первый пример: возьмем поле точечного заряда. Проведем линии в направлении поля, которые повсюду касательны к векторам поля (фиг. 4.12). Их называют линиями поля. Линии поля всюду показывают направление электрического вектора. Но, кроме этого, мы хотим изобразить и абсолютную величину вектора. Можно ввести такое правило: пусть напряженность электрического поля представляется «плотностью» линий. Под этим мы подразумеваем число линий на единицу площади, перпендикулярной линиям. С помощью этих двух правил мы можем начертить картину электрического поля. Для точечного заряда плотность линий должна убывать как 1/r2. Но площадь сферической поверхности, перпендикулярной к линиям на всех радиусах r, возрастает как r2, так что если мы сохраним всюду, на всех расстояниях от центра, одно и то же число линий, то их плотность останется пропорциональной величине поля.
Фиг. 4.12. Линии поля и эквипотенциальные поверхности для положительного точечного заряда.
Фиг. 4.13. Линии поля и эквипотенциальные поверхности для двух равных, но »разноименных точечных зарядов.
Мы можем гарантировать неизменность числа линий на всех расстояниях, если обеспечим непрерывность линий, т. е. если уж линия вышла из заряда, то она никогда не кончится. На языке линий поля закон Гаусса утверждает, что линии могут начинаться только в плюс-зарядах и кончаться только в минус-зарядах. А число линий, покидающих заряд q, должно быть равно q/e0.
Сходную геометрическую картину можно отыскать и для потенциала j. Проще всего изображать его, рисуя поверхности, на которых j постоянно. Их называют эквипотенциальными, т. е. поверхностями одинакового потенциала. Какова геометрическая связь эквипотенциальных поверхностей и линий поля? Электрическое поле является градиентом потенциала. Градиент направлен по самому быстрому изменению потенциала, поэтому он перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности. Если бы Е небыло перпендикулярно к поверхности, у него существовала бы составляющая вдоль поверхности и потенциал изменялся бы вдоль поверхности и тогда нельзя было бы считать ее эквипотенциальной. Эквипотенциальные поверхности должны поэтому непременно всюду проходить поперек линий электрического поля.
У отдельно взятого точечного заряда эквипотенциальные поверхности — это сферы с зарядом в центре. На фиг. 4.12 показано пересечение этих сфер с плоскостью, проведенной через заряд.
В качестве второго примера рассмотрим поле близ двух одинаковых зарядов, одного положительного, а другого отрицательного. Это поле получить легко. Это суперпозиция (наложение) полей каждого из зарядов. Значит, мы можем взять две картинки, похожие на фиг. 4.12, и наложить их... нет, это невозможно! Тогда получились бы пересекающиеся линии поля, а этого быть не может, потому что Е не может иметь в одной точке двух направлений. Неудобство картины линий поля теперь становится очевидным. С помощью геометрических рассуждений невозможно в простой форме проанализировать, куда пойдут новые линии. Из двух независимых картин нельзя получить их сочетание. Принцип наложения, столь простой и глубокий принцип теории электрических полей, в картине полевых линий не имеет простого соответствия.
Картина полевых линий все же имеет свою область применимости, так что мы можем все же захотеть начертить эту картину для пары равных (и противоположных) зарядов. Если мы вычислим поля из уравнения (4.13), а потенциалы из (4.23), то сумеем начертить и линии поля и эквипотенциалы.
Фиг. 4.13 демонстрирует этот результат. Но сперва пришлось решить задачу аналитически!