(2.9)
где еf — единичный вектор направления потока Вектор h можно определить и иначе — через его компоненты. Зададим себе вопрос, сколько тепла протекает через малую поверхность под произвольным углом к направлению потока. На фиг. 2.4 мы изобразили малую поверхность Аa2 под некоторым углом к поверхности Dat, которая перпендикулярна к потоку. Единичный вектор n перпендикулярен к поверхности
Фиг. 2.3. Тепловой поток — векторное поле. Вектор h указывает направление потока. Абсолютная величина его выражает энергию, переносимую за единицу времени через элемент поверхности, ориентированный поперек потока, деленную на площадь элемента поверхности.
Фиг. 2.4. Тепловые потоки сквозь Aа2 и сквозь Aa1 одинаковы.
Aа2. Угол q между n и h равен углу между поверхностями (так как h — нормаль к Da1). Чему теперь равен поток тепла через Dа2 на единицу площади? Потоки сквозь Dа2 и Dа1 равны между собой, отличаются только площади. Действительно, Dа1 = Dа2cosq. Поток тепла через Dа2 равен
(2.10)
Поясним это уравнение: поток тепла (в единицу времени и на единицу площади) через произвольный элемент поверхности с единичной нормалью n равен h·n. Можно еще сказать так: компонента потока тепла, перпендикулярная к элементу поверхности Dа2, равна h·n. Можно, если мы хотим, считать эти утверждения определением h. Сходные идеи мы применим и к другим векторным полям.
§ 3. Производные полей — градиент
Когда поля меняются со временем, то их изменение можно описать, задав их производные по t. Мы хотим также описать и их изменение в пространстве, потому что мы интересуемся связью, скажем, между температурой в некоторой точке и в точке с ней рядом. Как же задать производную температуры по координате? Дифференцировать температуру по х? Или по у, или по z?
Осмысленные физические законы не зависят от ориентации системы координат. Поэтому их нужно писать так, чтобы по обе стороны знака равенства стояли скаляры или векторы. Что же такое производная скалярного поля, скажем, дТ/дх? Скаляр ли это, или вектор, или еще что? Это, как легко понять, ни то ни другое, потому что если взять другую ось х, то дТ/дх изменится. Но заметьте: у нас есть три возможных производных: дТ/дх, дТ/ду и dT/dz. Три сорта производных, а ведь мы знаем, что нужно как раз три числа, чтобы образовать вектор.
Может быть, эти три производные и представляют собой компоненты вектора:
(2.11)
Ясно, конечно, что, вообще говоря, не из любых трех чисел можно составить вектор. О векторе можно говорить только тогда, когда при повороте системы координат компоненты преобразуются по правильному закону. Так что следует проследить, как меняются эти производные при повороте системы координат. Мы покажем, что (2.11) — действительно вектор. Производные действительно преобразуются при вращении системы координат так, как полагается.
В этом можно убедиться по-разному. Можно, например, задать себе вопрос, ответ на который не должен зависеть от системы координат, и попытаться выразить ответ в «инвариантной» форме. К примеру, если S=A·B и если А и В — векторы, то мы знаем (это доказано в вып. 1, гл. 11), что S — скаляр. Мы знаем, что S — скаляр, не проверяя, меняется ли он при изменении системы координат. Ему ничего иного не остается, раз он является скалярным произведением двух векторов. Подобным же образом, если мы знаем, что А — вектор, и у нас есть три числа B1, B2, В3, и мы обнаруживаем, что