расстояние между одинаковыми цепочками равно 2а.
Фиг. 11.10. Модели сегнетоалектрика.
а — антисегнетоэлектрик; б — нормальный сегнетовлектрик.
В промежутке имеются менее плотные цепочки, которые мы пока не будем рассматривать. Чтобы немного упростить наш анализ, предположим еще, что все ионы главной цепочки одинаковы. (Упрощение не очень значительное, потому что все важные эффекты еще останутся. Это просто одна из хитростей теоретической физики. Сначала решают видоизмененную задачу, потому что так в первый раз ее легче понять, а затем, разобравшись, как все происходит, вносят все усложнения.)
Попробуем теперь выяснить, что будет происходить в нашей модели. Предположим, что дипольный момент каждого иона равен р, и пусть мы хотим вычислить поле вблизи одного из ионов в цепочке. Мы должны найти сумму полей от всех остальных ионов. Сначала вычислим поле от диполей только в одной вертикальной цепочке; об остальных цепочках поговорим позже. Поле на расстоянии r от диполя в направлении вдоль его оси дается формулой
(11.32)
Для точки вблизи любого иона прочие диполи, расположенные на одинаковом расстоянии кверху и книзу от него, дают поля в одном и том же направлении, поэтому для всей цепочки получаем
(11.33)
Не представляет большого труда показать, что если бы наша модель была подобна кубическому кристаллу, т. е. если бы следующая идентичная линия проходила на расстоянии а, число 0,383 превратилось бы в 1/3 (~0,333). Другими словами, если бы соседние линии проходили на расстоянии а, они вносили бы в нашу сумму всего лишь —0,050. Однако следующая главная цепочка, которую мы рассмотрим, находится на расстоянии 2а, и, как вы помните из гл. 7, поле, создаваемое периодической структурой, спадает с расстоянием экспоненциально. Поэтому эти линии вносят в сумму гораздо меньше —0,050, и мы можем просто пренебречь всеми остальными цепочками.
Теперь нужно выяснить, какова должна быть поляризуемость а, чтобы привести в действие механизм разгона. Предположим, что индуцированный момент р каждого атома цепочки в соответствии с уравнением (11.6) пропорционален действующему на него полю. Поляризующее поле, действующее на атом, мы получаем из Eцепочка с помощью формулы (11.32). Итак, мы имеем два уравнения:
Имеются два решения: когда Е и р оба равны нулю и когда Е и р не равны нулю, но при условии, что
Таким образом, если a достигает величины a3/0,383, устанавливается постоянная поляризация, поддерживаемая своим собственным полем. Это критическое равенство должно достигаться для титаната бария как раз при температуре Тс. (Заметьте, что если бы поляризуемость a была больше критического значения для слабых полей, то она уменьшится при больших полях и в точке равновесия установится полученное нами равенство.)
Для ВаТiO3 промежуток a равен 2·10-8 см, поэтому мы должны ожидать значения a=21,8·10-24 см3. Мы можем сравнить эту величину с известными величинами поляризуемости отдельных атомов. Для кислорода a = 30,2·10-24 см3. (Мы на верном пути!) Но для титана a = 2,4·10-24см3. (Слишком мало.) В нашей модели нам, видимо, следует взять среднее. (Мы могли бы рассчитать снова цепочку для перемежающихся атомов, но результат был бы почти такой же.) Итак, aсредн = 16,3·10-24 см3, что недостаточно велико для установления постоянной поляризации.
Но подождите! Мы ведь до сих пор складывали только электронные поляризуемости. А есть еще и ионная поляризация, возникающая из-за смещения иона титана. Однако потребуется ионная поляризуемость величиной 9,2·10-24 см3.
(Более точное вычисление с учетом перемежающихся атомов показывает, что на самом деле требуется даже 11,9·10-24см3.) Чтобы понять свойства ВаТiO3, мы должны предположить, что возникает именно такая ионная поляризуемость.