Физически наблюдаемые величины в электромагнетизме, однако, не связаны с правой или левой рукой. Из гл. 52 (вып. 4) мы знаем, что электромагнитные взаимодействия симметричны по отношению к отражению. При вычислении магнитных сил между двумя наборами токов результат всегда инвариантен по отношению к перемене рук. Наши уравнения, независимо от условия правой руки, приводят к конечному результату, что параллельные токи притягиваются, а противоположные — отталкиваются. (Попробуйте вычислить силу с помощью «правила левой руки».) Притяжение или отталкивание есть полярный вектор. Так получается потому, что при описании любого полного взаимодействия мы пользуемся правилом правой руки дважды — один раз, чтобы найти В из токов, а затем, чтобы найти силу, оказываемую полем В на второй ток. Два раза пользоваться правилом правой руки — все равно что два раза пользоваться правилом левой руки. Если бы мы условились перейти к системе левой руки, все наши поля В изменили бы знак, но все силы или (что, пожалуй, нагляднее) наблюдаемые ускорения объектов не изменились бы.
Хотя физики недавно, к своему удивлению, обнаружили, что не все законы природы всегда инвариантны по отношению к зеркальным отражениям, тем не менее законы электромагнетизма обладают этой фундаментальной симметрией.
* Или, короче,─ тесла. ─ прим. ред.
*Потом мы увидим, что такие предположения, вообще говоря, неправильны для электромагнитных сил!
*Это и есть магнитная проницаемость пустоты.
Глава 14
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В РАЗНЫХ СЛУЧАЯХ
§1.Векторный потенциал
§2.Векторный потенциал заданных токов
§3. Прямой провод
§4.Длинный соленоид
§5.Поле маленькой петли; магнитный диполь
§6. Векторный потенциал цепи
§7.3акон Био—Савара
§ 1, Векторный потенциал
В этой главе мы продолжим разговор о магнитостатике, т, е. о постоянных магнитных полях и постоянных токах. Магнитное поле и электрические токи связаны нашими основными уравнениями:
(14.1)
и
(14.2)
На этот раз нам нужно решить эти уравнения математически самым общим образом, а не ссылаться на какую-нибудь особую симметрию или на интуицию. В электростатике мы нашли прямой способ вычисления поля, когда известны положения всех электрических зарядов: скалярный потенциал j дается просто интегралом по зарядам, как в уравнении (4.25) на стр. 77. Если затем нужно знать электрическое поле, то его получают дифференцированием j. Мы покажем сейчас, что для нахождения поля В существует аналогичная процедура, если известна плотность тока j всех движущихся зарядов.
В электростатике, как мы видели (из-за того, что rot от Е везде равен нулю), всегда можно представить Е в виде градиента от скалярного поля j. А вот rot от В не везде равен нулю, поэтому представить его в виде градиента, вообще говоря, невозможно. Однако дивергенция В везде равна нулю, а это значит, что мы можем представить В в виде ротора от другого векторного поля. Ибо, как мы видели в гл. 2, § 8, дивергенция ротора всегда равна нулю. Следовательно, мы всегда можем выразить В через поле, которое мы обозначим А:
(14.3)
Или, расписывая компоненты:
(14.4)
Запись B=СXA гарантирует выполнение (14.1), потому что обязательно
Поле А называется векторным потенциалом.
Вспомним, что скалярный потенциал j оказывается не полностью определенным. Если мы нашли для некоторой задачи потенциал j, то всегда можно найти столь же хороший другой потенциал j', добавив постоянную:
Новый потенциал j' дает те же электрические поля, потому что градиент СС есть нуль; j' и j отвечают одной и той же картине.