Мы получим (отвлекаясь от знака)
Поскольку мы предположили, что r—величина постоянная, то Е пропорционально производной по времени от среднего поля:
(17.4)
Электрон будет чувствовать электрическую силу qE и будет ею ускоряться. Помня, что на основании точного релятивистского уравнения движения скорость изменения импульса пропорциональна силе, имеем
(17.5)
Для принятой нами круговой орбиты электрическая сила, действующая на электрон, всегда направлена по движению, поэтому полный импульс будет расти со скоростью, даваемой равенством (17.5). Комбинируя (17.5) и (17.4), можно связать скорость изменения импульса с изменением среднего магнитного поля:
(17.6)
Интегрируя по t, получаем следующее выражение для импульса электрона:
(17.7)
где р0 — импульс, с которым электрон начинает двигаться, a DBcp — последующее изменение Bср. Работа бетатрона — машины, ускоряющей электроны до больших энергий, основана именно на этой идее.
Чтобы понять, как работает бетатрон, необходимо представлять себе принцип движения электрона по окружности. В гл. 11 (вып. 1) мы уже обсуждали этот принцип. Если на орбите электрона создать магнитное поле В, возникнет поперечная сила qvXB, которая при соответствующем выборе В может заставить электрон двигаться по предположенной орбите. В бетатроне эта поперечная сила вызывает движение электрона по круговой орбите постоянного радиуса. Мы можем определить, каким должно быть магнитное поле на орбите, опять с помощью релятивистского уравнения движения, но на этот раз для поперечной компоненты силы. В бетатроне (см. фиг. 17.4) поле В перпендикулярно v, поэтому поперечная сила равна qvB. Таким образом, сила равна скорости изменения поперечной компоненты импульса pt:
(17.8)
Когда частица движется по окружности, Скорость изменения поперечного импульса равна величине полного импульса, умноженной на w — угловую скорость вращения (согласно аргументам, приведенным в гл. 11, вып. 1):
(17.9)
где, поскольку движение круговое,
(17.10)
Полагая магнитную силу равной поперечному ускорению, имеем
(17.11)
где Ворб — поле при радиусе, равном r.
В приведенном в действие бетатроне импульс электрона, согласно выражению (17.7), растет пропорционально Bср, и чтобы электрон продолжал двигаться по собственной окружности, равенство (17.11) должно по-прежнему выполняться вместе с ростом импульса электрона. Величина Bopб должна расти пропорционально импульсу р. Сравнивая (17.11) с (17.7), определяющим р, мы видим, что должно выполняться следующее соотношение между Вср — средним
магнитным полем внутри орбиты радиуса r и магнитным полем Вор6 на орбите:
(17.12)
Для правильной работы бетатрона нужно, чтобы среднее магнитное поле внутри орбиты росло в два раза быстрее магнитного поля на самой орбите. При этих условиях с ростом энергии частицы, увеличивающейся за счет индуцированного электрического поля, магнитное поле на орбите растет как раз со скоростью, нужной для удержания частицы на окружности.
Бетатрон используется для разгона электронов до энергий в десятки или даже в сотни миллионов электронвольт. Однако по ряду причин для ускорения электронов до энергий, много больших нескольких сот миллионов электронвольт, эта машина становится невыгодной. Одна из этих причин — трудность достижения на практике требуемой высокой величины среднего магнитного поля внутри орбиты, а вторая — несправедливость формулы (17.6) для очень больших энергий, так как в ней не учитывается потеря энергии частицей за счет излучения электромагнитной энергии (так называемое синхротронное излучение, см. гл. 34, вып. 3). По этим причинам ускорение электронов до самых больших энергий — до многих миллиардов электрон-вольт — совершается посредством машины другого рода, называемой синхротроном.