Прежде чем начать описание сферических волн, немного займемся математикой. Пусть имеется функция, зависящая только от радиального расстояния r точки от начала координат, иными словами, сферически симметричная функция. Обозначим ее ш(r), где под r подразумевается
т. е. расстояние от начала координат. Чтобы узнать, какие функции ш (r) удовлетворяют волновому уравнению, нам понадобится выражение для лапласиана ш. Значит, нам нужно найти сумму вторых производных ш по х, по у и по z. Через ш'(r) мы обозначим первую производную i|) по r, а через ш"(r) — вторую. Сначала найдем производные по х. Первая производная равна
Вторая производная по х равна
Частные производные r по x можно получить из
так что вторая производная ш no x принимает вид
(20.28)
Точно так же и
(20.29)
(20.30)
Лапласиан равен сумме этих трех производных. Вспоминая,
что x2+y2+z2=r2, получаем
(20.31)
Часто бывает удобнее записывать уравнение в следующей
форме:
(20.32)
Проделав дифференцирование, указанное в (20.32), вы убедитесь, что правая часть здесь та же, что и в (20.31).
Если мы хотим рассматривать сферически симметричные поля, которые могут распространяться как сферические волны, то величины, описывающие поля, должны быть функцией как r, так и t. Предположим, что нам нужно знать, какие функции ш(r, t) являются решениями трехмерного волнового уравнения
(20.33)
Поскольку ш(г, t) зависит от пространственных координат только через г, то в качестве лапласиана можно использовать выражение (20.32). Но для точности, поскольку ш зависит также и от t, нужно дифференцирование по r записывать в виде частной производной. Волновое уравнение обращается в
Его и предстоит нам решать. Оно выглядит сложнее, чем в случае плоских волн. Но заметьте, что если умножить это уравнение на r, то получится
(20.34)
Это уравнение говорит нам, что функция rш удовлетворяет одномерному волновому уравнению по переменной r. Используя часто подчеркивавшийся нами общий принцип, что у одних и тех же уравнений и решения одни и те же, мы приходим к выводу, что если rш окажется функцией одного только (r-ct), то оно явится решением уравнения (20.34). Итак, мы обнаруживаем, что сферические волны обязаны иметь вид
Или, как мы видели раньше, можно в равной степени считать rш имеющим форму
Деля на r, находим, что характеризующая поле величина ш (чем бы она ни была) имеет вид
(20.35)
Такая функция представляет сферическую волну общего вида, распространяющуюся от начала координат со скоростью с. Если на минуту забыть об r в знаменателе, то амплитуда волны как функция расстояния от начала координат в каждый данный момент обладает определенной формой, которая распространяется со скоростью с. Однако r в знаменателе говорит нам, что по мере того, как волна распространяется, ее амплитуда убывает пропорционально 1/r. Иными словами, в отличие от плоской волны, амплитуда которой остается при движении все время одной и той же, амплитуда сферической волны беспрерывно спадает (фиг. 20.6).
Фиг. 20.6. Сферическая волна ш=f(t-r/с)/r.
а — зависимость ш от r при t=tl и ma же волна в более поздний момент времени t2; б — зависимость ш от t при r=r1 и та же самая волна на расстоянии r2.
Этот факт легко понять из простых физических соображений.
Мы знаем, что плотность энергии в волне зависит от квадрата амплитуды волны. По мере того как волна разбегается, ее энергия расплывается на все большую и большую площадь, пропорциональную квадрату радиуса волны. Если полная энергия сохраняется, плотность энергии должна убывать как 1/r2, а амплитуда — как 1/r. Поэтому формула (20.35) для сферической волны вполне «разумна».