Хотя мы обсуждали, как происходит нарушение закона Гука, но, по-видимому, наиболее удивительно все же не нарушение этого закона при больших деформациях, а его универсальность. Некоторое понятие о том, почему так происходит, вы можете получить, рассматривая энергию деформации материала. Утверждение о том, что напряжение пропорционально деформации, равносильно утверждению, что энергия деформации изменяется как квадрат напряжения. Предположим, что мы скрутили стержень на малый угол q. Если справедлив закон Гука, то энергия деформации должна быть пропорциональна квадрату q. Предположим, что энергия является некоторой произвольной функцией угла. Мы можем записать ее в виде разложения Тэйлора около нуля:
U(q)=U(0)+U'(0)q +1/2U’’(0)q2+1/6 U'''(q)q3+ -.. . (39.40)
Момент силы t представляет производную U по углу, поэтому
t(q)=U'(0)+U"(0) q+1/2U’’’(0)q2 + ... . (39.41)
Если теперь отсчитывать угол от положения равновесия, то первое слагаемое будет равно нулю. Таким образом, первое оставшееся слагаемое пропорционально q и при достаточно малых углах оно будет превосходить слагаемое с q2. [На самом деле, внутренне материалы в достаточной мере симметричны, так что t(q)=-t(-q); слагаемое с q2 оказывается нулем, а отклонение от линейности происходит только из-за слагаемого с q3. Однако нет причин, по которым это было бы верно для растяжения и сжатия.] Единственно, что мы не объяснили,— почему материалы обычно разрушаются вскоре после того, как становятся существенными члены высшего порядка.
§ 5. Вычисление упругих постоянных
Последний вопрос в теории упругости, который я разберу,— это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя из некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионного кубического кристалла типа хлористого натрия. Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличению потенциальной энергии кристалла. Для вычисления изменения энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы в решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма сложным образом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии деформации. Но понять, что получается в случае простого кубического кристалла, все-таки можно. Возмущения внутри кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внешних граней.
Упругие постоянные кубического кристалла можно вычислить следующим образом. Прежде всего мы предположим наличие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней энергии кристалла при отклонении от равновесной формы. Это даст нам соотношения между энергией и деформацией, которая квадратична по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39.13), можно идентифицировать коэффициенты при каждом слагаемом с упругими постоянными Cijkl.
В нашем примере мы будем предполагать следующий простой закон взаимодействия: между соседними атомами действуют центральные силы, имея в виду, что они действуют по линии, соединяющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ионных кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие. (При ковалентной связи силы обычно более сложны, ибо они приводят и к боковому давлению на соседние атомы; но нам все эти усложнения ни к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу взаимодействия каждого атома с ближайшим к нему и следующими поблизости соседями. Другими словами, мы будем делать приближение, в котором пренебрежем силами между далекими атомами. На фиг. 39.10,а показаны силы в плоскости ху, которые мы будем учитывать. Следует еще учесть соответствующие силы в плоскостях yz и zx.
Поскольку нас интересуют только упругие постоянные, которые описывают малые деформации, и, следовательно, в выражении для энергии нам нужны только слагаемые, квадратичные по деформациям, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно.
Фиг. 39.10. Принимаемые нами в расчет межатомные силы (а) и модель, в которой атомы связаны пружинками (б).
Поэтому для наглядности можно представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10, б). Все пружинки между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем k1. Пружинки между двумя атомами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через k2. (Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы сможете вернуться назад и сделать их разными.)
Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором eij. В общем случае у него будут компоненты, содержащие х, у и z, но мы для большей наглядности рассмотрим только деформации с тремя компонентами: ехх, еxyи еyy . Если один из атомов выбрать в качестве начала координат, то перемещение любого другого атома задается уравнением типа (39.9):
Назовем атом с координатами х=у=0 «атомом 1», а номера его соседей показаны на фиг. 39.11.
Фиг, 39.11. Перемещение ближайших и следующих поблизости соседей атома 1. (Масштаб сильно искажен.)
Обозначая постоянную решетки через а, мы получаем х- и y-компоненты перемещения ux, uy , выписанные в табл. 39.1.
Таблица 39.1 · КОМПОНЕНТЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ux, uу
Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению k2/2 на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между атомами 1 и 2будет равна
Заметьте, что с точностью до первого порядка y-перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2. Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изменение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонтального перемещений. Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент uхи uv в диагональном направлении:
Воспользовавшись величинами uхи uy. можно получить выражение для энергии
Для полной энергии всех пружинок в плоскости ху нам нужна сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энергию через U0, получаем