Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Фиг. 41.3. Поток жидкости между двумя концентрическими цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями.

Возникает вопрос, каково распределение скоростей между цилиндрами? Чтобы ответить на него, начнем с получения формулы для вязкого сдвига в жидкости на расстоянии rот оси. Из симметрии задачи можно предположить, что поток всегда тангенциален и что его величина зависит только от r; v=v(r). Если мы понаблюдаем за соринкой в воде, расположенной на расстоянии rот оси, то ее координаты как функции времени будут

x = rcoswt, у=rsinwt,

где w=v/r. При этом х- и y-компоненты скорости равны

v_x=-rwsinwt =-wу и v_y= rwcoswt=wх. (41.4)

Из формулы (41.3) получаем

Для точек с у=0 имеем дw/ду=0, а х(дw/дх) будет равно r(dw)/dr). Так что в этих точках

(Разумно думать, что величина S должна зависеть от дw/дr, когда w не изменяется с r, жидкость находится в состоянии равномерного вращения и напряжения в ней не возникают.) Вычисленное нами напряжение представляет собой тангенциальный сдвиг, одинаковый повсюду вокруг цилиндра. Мы можем получить момент сил, действующий на цилиндрической поверхности радиусом r, путем умножения напряжения сдвига на плечо импульса rи площадь 2prclass="underline"

Поскольку движение воды стационарно и угловое ускорение отсутствует, то полный момент, действующий на цилиндрическую поверхность воды между радиусами rи r+dr, должен быть нулем; иначе говоря, момент сил на расстоянии r должен уравновешиваться равным ему и противоположно направленным моментом сил на расстоянии r+dr, так что t не должно зависеть от r. Другими словами, r³(dw/dr) равно некоторой постоянной, скажем А, и

dw/dr=A/r³ (41.8)

Интегрируя, находим как w изменяется с r:

Постоянные А и В должны определяться из условия, что w=w_a в точке r=a, a w=w_b в точке r=b. Тогда находим

Таким образом, w как функция r нам известна, а стало быть, известно и v=wr.

Если же нам нужно определить момент сил, то его можно получить из выражений (41.7) и (41.8);

или

Он пропорционален относительной угловой скорости двух цилиндров. Имеется стандартный прибор для измерения коэффициентов вязкости, который устроен следующим образом: один из цилиндров (скажем, внешний) посажен на ось, но удерживается в неподвижном состоянии пружинным динамометром, который измеряет действующий на него момент сил, а внутренний цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью. Коэффициент вязкости определяется при этом из формулы (41.11).

Из определения коэффициента вязкости вы видите, что h измеряется в ньютон·сек/м². Для воды при 20° С

h=10³ нъютон·сек/м².

Часто удобнее бывает пользоваться удельной вязкостью, которая равна h, деленной на плотность r. При этом величины удельных вязкостей воды и воздуха сравнимы:

Вода при 20°С h/r=10^-6м²/сек

Воздух при 20°С h/r=15·10^-6м²/сек. , (41.12)

Обычно вязкость очень сильно зависит от температуры. Например, для воды непосредственно над точкой замерзания отношение h/r в 1,8 больше, чем при 20° С.

§ 2. Вязкий поток

Перейдем теперь к общей теории вязкого потока, по крайней мере настолько общей, насколько это и известно человеку. Вы уже понимаете, что компоненты сдвиговых напряжений сдвига пропорциональны пространственным производным от различных компонент скорости, таких, как dv_x/dy или dv_y/дх. Однако в общем случае сжимаемой жидкости в напряжениях есть и другой член, который зависит от других производных скорости. Общее выражение имеет вид

где х_i — какая-либо из координат х, у или z; v_i — какая-либо з прямоугольных составляющих скорости. (Значок d_ij обозначает символ Кронекера, который равен единице при i=j и нулю при i№j.) Ко всем диагональным элементам S_ijтензора напряжений прибавляется дополнительный член h'С·v. Если жидкость несжимаема, то С·v=0 и дополнительного члена не появляется, так что он действительно имеет отношение к внутренним силам при сжатии. Для описания жидкости, точно так же как и для описания однородного упругого тела, требуются две постоянные. Коэффициент h представляет «обычный» коэффициент вязкости, который мы уже учитывали. Он называется также первым коэффициентом вязкости, а новый коэффициент h' называется вторым коэффициентом вязкости.

Теперь нам предстоит найти вязкую силу f_вязк, действующую на единицу объема, после чего мы сможем подставить ее в уравнение (41.1) и получить уравнение движения реальной жидкости. Сила, действующая на маленький кубический объем жидкости, представляет собой равнодействующую всех сил, действующих на все шесть граней. Взяв их по две сразу, мы получим разность, которая зависит от производных напряжений, и, следовательно, от вторых производных скоростей. Это приятный результат, ибо он приведет нас опять к векторному уравнению. Компонента вязкой силы, действующей на единицу объема в направлении оси х_i, равна

Обычно зависимость коэффициентов вязкости от координат положения несущественна и ею можно пренебречь. Тогда вязкая сила на единицу объема содержит только вторые производные скорости. Мы видели в гл. 39, что наиболее общей формой вторых производных в векторном уравнении будет сумма Лапласиана (С·С)v = С²v и градиента дивергенции (С (С·v)). Выражение (41.14) представляет как раз такую сумму с коэффициентами h и (h+h'). Мы получаем

В случае несжимаемой жидкости С·v=0 и вязкая сила в единице объема будет просто равна hС²v. Это и все, чем обычно пользуются; однако если вам понадобится вычислить поглощение звука в жидкости, то вам потребуется и второй член. Теперь мы можем закончить вывод уравнения движения реальной жидкости. Подставляя (41.15) в уравнение (41.1), получаем

Уравнение получилось, конечно, сложное, но ничего не поделаешь, такова природа.

Если мы введем W=СXv, как делали это раньше, то наше уравнение можно записать в виде

Мы снова предполагаем, что единственными объемными силами являются консервативные силы типа сил тяжести. Чтобы понять смысл нового члена, давайте рассмотрим случай несжимаемой жидкости. Если мы возьмем ротор уравнения (41.16), то получим

Это напоминает (40.9) с той только разницей, что в правой части имеется еще одно слагаемое. Когда правая часть была равна нулю, то имелась теорема Гельмгольца о том, что вихри всегда движутся вместе с жидкостью. Теперь же в правой части появилось довольно сложное выражение, из которого, однако, не сразу же следуют физические выводы. Если бы мы пренебрегли членом СX(WXv), то получили бы диффузионное уравнение. Новый член означает, что вихри диффундируют в жидкости. При большом градиенте вихри расползаются в соседние области жидкости.