Фиг. 41.1. Увлечение жидкости между двумя параллельными пластинками.
Если вы будете измерять силу, требуемую для поддержания движения верхней пластины, то найдете, что она пропорциональна площади пластины и отношению v0/d, где d — расстояние между пластинами. Таким образом, напряжение сдвига F/A пропорционально v0/d:
Коэффициент пропорциональности h называется коэффициентом вязкости.
Если перед нами более сложный случай, то мы всегда можем рассмотреть в воде небольшой плоский прямоугольный объем, грани которого параллельны потоку (фиг. 41.2).
Фиг. 41.2. Напряжения сдвига в вязкой жидкости.
Силы в этом объеме определяются выражением
Далее, дvx/дy представляет скорость изменения деформаций сдвига, определенных нами в гл. 38, так что силы в жидкости пропорциональны скорости изменения деформаций сдвига.
В общем случае мы пишем
При равномерном вращении жидкости производная дuх/ду равна дvy/дx с обратным знаком, a Sxy будет равна нулю, как это и требуется, ибо в равномерно вращающейся жидкости напряжения отсутствуют. (Подобную же вещь мы проделывали в гл. 39 при определении еxy .) Разумеется, для Syz и Sгх тоже есть соответствующие выражения.
В качестве примера применения этих идей рассмотрим движение жидкости между двумя коаксиальными цилиндрами. Пусть радиус внутреннего цилиндра равен а, его скорость будет vа, а радиус внешнего цилиндра пусть будет b, а скорость равна vb (фиг. 41.3).
Фиг. 41.3. Поток жидкости между двумя концентрическими цилиндрами, вращающимися с разными угловыми скоростями.
Возникает вопрос, каково распределение скоростей между цилиндрами? Чтобы ответить на него, начнем с получения формулы для вязкого сдвига в жидкости на расстоянии r от оси. Из симметрии задачи можно предположить, что поток всегда тангенциален и что его величина зависит только от r; v=v(r). Если мы понаблюдаем за соринкой в воде, расположенной на расстоянии r от оси, то ее координаты как функции времени будут
x = rcoswt, у=rsinwt,
где w=v/r. При этом х- и y-компоненты скорости равны
vx=-rwsinwt =-wу и vy= rwcoswt=wх. (41.4)
Из формулы (41.3) получаем
Для точек с у=0 имеем дw/ду=0, а х(дw/дх) будет равно r(dw)/dr). Так что в этих точках
(Разумно думать, что величина S должна зависеть от дw/дr, когда w не изменяется с r, жидкость находится в состоянии равномерного вращения и напряжения в ней не возникают.) Вычисленное нами напряжение представляет собой тангенциальный сдвиг, одинаковый повсюду вокруг цилиндра. Мы можем получить момент сил, действующий на цилиндрической поверхности радиусом r, путем умножения напряжения сдвига на плечо импульса r и площадь 2prl: