Фейнмановские лекции по физике 7

2) включите поле в направлении оси у;

3) выключите x-поле;

4) выключите y-поле.

Теперь кристалл вернулся к прежнему положению и полная работа, затраченная на поляризацию, должна быть нулем. Но для этого, как вы можете убедиться, a_xy должно быть равно а. Однако те же рассуждения можно провести и для a_xz и т. д. Таким образом, тензор поляризуемости симметричен.

Это означает также, что тензор поляризуемости можно найти простым измерением энергии, необходимой для поляризации кристалла в различных направлениях. Предположим, мы сначала взяли электрическое поле Е с компонентами х и у; тогда, согласно уравнению (31.7),

Если бы у нас была только одна компонента Е_х, мы могли бы определить a_хх, а с одной компонентой Е_y можно определить a_yy . Включив обе компоненты Е_х и Е_y , мы из-за присутствия члена (a_ху+a_ух) получим добавочную энергию, ну а поскольку a_xy и a_yx равны, то этот член превращается в 2a_xy и может быть вычислен из добавочной энергии.

Выражение для энергии (31.8) имеет очень красивую геометрическую интерпретацию. Предположим, что нас интересует, какие поля Е_х и Е_y отвечают данной плотности энергии, скажем u₀. Возникает чисто математическая задача решения уравнения

Это уравнение второй степени, так что, если мы отложим по осям величины Е_х и Е_y , решением этого уравнения будут все точки эллипса (фиг. 31.2).

Фиг. 31.2 Конец любого вектора E=(E_x, e_v) , лежащего на этой кривой, дает одну и ту же анергию поляризации.

(Это должен быть именно эллипс, а не парабола и не гипербола — ведь энергия поля всегда положительна и конечна.) А само Е с компонентами Е_х и Е_y представляет вектор, идущий из начала координат до точки на эллипсе. Такой «энергетический эллипс» — хороший способ «увидеть» тензор поляризуемости.

Если теперь пустить в дело все три компоненты, то любой вектор Е, необходимый для создания единичной плотности энергии, задается точками, расположенными на эллипсоиде, подобно изображенному на фиг. 31.3. Форма этого эллипсоида постоянной энергии однозначно характеризует тензор поляризуемости.

Заметьте теперь, что эллипсоид имеет очень интересное свойство — его всегда можно описать простым заданием направления трех «главных осей» и диаметров эллипсоида по этим осям. Такими «главными осями» являются направления наименьшего и наибольшего диаметра и направление, перпендикулярное к ним. На фиг. 31.3 они обозначены буквами а, b и с.

Фиг. 31.3. Эллипсоид анергии для тензора поляризуемости.

По отношению к этим осям уравнение эллипсоида имеет особенно простую форму:

Итак, по отношению к главным осям у тензора поляризуемости останутся только три ненулевые компоненты a_аа, a_bb и a_сс. Другими словами, сколь бы ни был сложен кристалл, всегда можно выбрать оси так (они не обязательно будут осями самого кристалла), что у тензора поляризуемости останется только три компоненты. Уравнение (31.4) для таких осей становится особенно простым:

Р_а =a_ааЕ_а, Р_b =a_bbE_b, Р_с =a_ссЕ_с. (31.9)

Иначе говоря, электрическое поле, направленное по любой одной из главных осей, дает поляризацию, направленную по той же оси, но, разумеется, для различных осей коэффициенты будут разными.

Тензор часто записывается в виде таблицы из девяти коэффициентов, взятых в скобки: