Фейнмановские лекции по физике 7

Они связаны точно таким же образом, как Е и Р, т. е. мы должны писать:

Девять коэффициентов I_ij называют тензором инерции. По аналогии с поляризацией кинетическая энергия для любого момента количества движения должна быть некоторой квадратичной формой компонент w_x, w_y и w_z:

Мы можем снова воспользоваться этим выражением для определения эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно воспользоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е. I_ij=I_ji.

Тензор инерции твердого тела можно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой m и скоростью v обладает кинетической энергией ¹/₂mv², а полная кинетическая энергия равна просто сумме

S¹/₂mv²

по всем частицам тела. Но скорость v каждой частицы связана с угловой скоростью wтвердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем считать покоящимся. Если при этом r — положение частицы относительно центра масс, то ее скорость v задается выражением wXr. Поэтому полная кинетическая энергия равна

к. э.=S¹/₂m(wX г)². (31.18)

Единственное, что нужно теперь сделать,— это переписать wXr через компоненты w_х, w_y , w_z и координаты х, у, z, а затем сравнить результат с уравнением (31.17); приравнивая коэффициенты, найдем I_ij. Проделывая всю эту алгебру, мы пишем:

Умножая это уравнение на m/2, суммируя по всем частицам и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что I_xx, например, равно

Это и есть та формула для момента инерции тела относительно оси х, которую мы получали уже раньше (гл. 19, вып. 2).

Ну а поскольку r² =x²+y²+z², то эту же формулу можно написать в виде

I_xx=Sm(r²-x²). Выписав остальные члены тензора инерции, получим

Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначениях»:

где через r_i обозначены компоненты (х, у, z) вектора положения частицы, а 2 означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения L с угловой скоростью w:

Для любого тела независимо от его формы можно найти эллипсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относительно этих осей тензор будет диагональным, так что для любого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.

§ 5. Векторное произведение

Сами того не подозревая, вы пользуетесь тензором второго ранга уже начиная с гл. 20 (вып. 2). В самом деле, мы определили там «момент силы, действующий в плоскости», например t_xy, следующим образом:

t_xy=xF_y-yF_x.

Обобщая это определение на три измерения, можно написать

t_ij=r_iF_j-r_jF_i. (31.22)

Как видите, величина t_ij — это тензор второго ранга. Один из способов убедиться в этом — свернуть t_ij с каким-то вектором, скажем с единичным вектором е, т. е. составить

Если эта величина окажется вектором, то t_ij должен преобразовываться как тензор — это просто наше определение тензора. Подставляя выражение для t_ij, получаем

Поскольку скалярные произведения, естественно, являются скалярами, то оба слагаемых в правой части — векторы, как и их разность. Так что t_ij-— действительно тензор.

Однако t_ij принадлежит к особому сорту тензоров, он антисимметричен, т. е.