Фиг. 33.1. Отражение и преломление волн на поверхности.
Направления распространения волн перпендикулярны их гребням.
qr=qi. (33.1)
2. Произведение nsinq одинаково как для падающего луча, так и для преломленного (закон Снелла):
n1sinq=n2sinqt. (33.2)
3. Интенсивность отраженного света зависит как от угла падения, так и от направления поляризации. Для вектора Е, перпендикулярного плоскости падения, коэффициент отражения R┴ равен
Для вектора Е, параллельного плоскости падения, коэффициент отражения R║ равен
4. Для перпендикулярно падающего луча (разумеется, при любой поляризации!)
(Мы использовали индекс i для обозначения величин в падающем луче, t — в преломленном, а r — в отраженном.)
Наши прежние рассуждения практически достаточно полны для обычной работы, но мы собираемся применить здесь другой способ. Вы хотите знать почему? Причина заключается в том, что раньше мы считали показатель преломления вещественным (т. е. что никакого поглощения в материале не происходит). Однако есть и другая причина: вам следует уметь обращаться с волнами на поверхности с точки зрения уравнений Максвелла. Ответы, конечно, получатся одинаковые, но теперь уже путем непосредственного решения волновой задачи, а не с помощью правдоподобных рассуждений.
Я хочу подчеркнуть, что амплитуда отраженной от поверхности волны не определяется такими свойствами материала, как показатель преломления. Она зависит от чисто «поверхностных свойств», которые, строго говоря, определяются тем, как обработана поверхность. Тонкий слой посторонней примеси на границе между двумя материалами с показателями n1 и n2 обычно изменяет отражение. (Имеются всяческие виды интерференции, примером которой могут служить разноцветные масляные пленки на воде. Подбором толщины можно свести амплитуду отражения данной частоты к нулю. Именно так и делаются просветленные линзы.) Формулы, которые мы получим, будут верны, только когда показатель преломления резко изменится на расстояниях, малых по сравнению с длиной волны. Длина волны света, например, составляет около 5000 Е, так, что под «гладкой» поверхностью мы понимаем поверхность, на которой условия изменяются всего на протяжении нескольких атомов (или на расстоянии нескольких ангстрем). Так что для света наши формулы будут работать только на хорошо отполированной поверхности. Вообще же если показатель преломления постепенно меняется на расстоянии нескольких длин волн, то отражение будет незначительным.
§ 2. Волны в плотных материалах
Прежде всего я напомню вам об удобном способе описания синусоидальных плоских волн, которым мы пользовались в гл. 36 (вып. 3). Любая компонента поля в волне (возьмем, например, Е) может быть записана в форме
E=E0ei(wt-k·r), (33.6)
где Е — амплитуда поля в точке г (относительно начала координат) в момент t. Вектор k указывает направление распространения волны, а его величина |k|=k=2pl равна волновому числу. Фазовая скорость волны vфаз=w/k для света в материале с показателем n будет равна c/n, поэтому
k=wn/c. (33.7)
Предположим, что вектор k направлен по оси z; тогда k·r будет просто хорошо знакомым нам kz. Для вектора k в любом другом направлении z следует заменить на rk — расстояние от начала в направлении вектора k, т. е. kz мы должны заменить на krk, что как раз равно k·r (фиг. 33.2).
Фиг. 33.2. Фаза волны в точке Р, распространяющейся в направлении k, равна (wt-k·r).
Таким образом, запись (33.6) является удобным представлением волны, идущей в любом направлении.
Разумеется, при этом мы должны помнить, что
k·r=kxx+kyy+k:zz,