Но как теперь можно удовлетворить уравнению (33.21), если с правой стороны у нас возвышается огромный пик? Только если существует равный ему громадный пик с другой стороны. Что-то и с левой стороны должно быть большим. Единственная возможность — это дЕх/дх, поскольку изменения в направлениях у и z в тех волнах, о которых мы только что упомянули, дают лишь малый эффект. Таким образом, -e0(дЕх/дх) должно быть, как это показано на фиг. 33.5,в, точной копией дP/дx. Получается
Если это уравнение проинтегрировать по х по всей области 3, то мы придем к заключению, что
e0(Еx2-Еx1)=-(Рx2-Рx1). (33.25)
Другими словами, скачок e0Ех при переходе от области 1 к области 2 должен быть равен скачку —Рх.
Уравнение (33.25) можно переписать в виде
e0Ex2+Рx2=e0Ex1+Рx1; (33.26)
оно гласит, что величина (e0Ex+Рx) имеет равные значения как в области 2, так и в области 1. В таких случаях люди говорят, что величина (e0Еx+Рх) непрерывна на границе. Таким образом, мы получили одно из наших граничных условий.
Хотя в качестве иллюстрации мы взяли случай, когда значение Р1 равно нулю, ибо в области 1 у нас был вакуум, ясно, что те же аргументы приложимы для любого материала в этих двух областях, так что уравнение (33.26) верно в общем случае. Давайте перейдем к остальным уравнениям Максвелла и посмотрим, что скажет нам каждое из них. Следующим мы возьмем уравнение (33.22а). У него нет производной по х, так что оно ничего нам не говорит. (Вспомните, что на границе сами поля не особенно велики. Только их производные по х могут стать столь огромными, что будут доминировать в уравнении.) Взглянем теперь на уравнение (33.22.б). Смотрите! Именно здесь у нас есть производная по х! С левой стороны имеется дEz/дx. Предположим, что эта производная громадна. Но минуточку терпения! С правой стороны нет ничего, способного потягаться с ней, поэтому Еz не может иметь скачка при переходе из области 1 к области 2. [Если бы это было так, то с левой стороны уравнения (33.22а) мы бы получили скачок, а с правой — его не было бы, и уравнение оказалось бы неверным.] Итак, мы получили новое условие:
Eя2=Eя1. (33.27)
После тех же самых рассуждений уравнение (33.22в) дает
Ey2=Ey1. (33.28)
Последний результат в точности совпадает с полученным с помощью контурного интеграла условием (33.20).
Перейдем к уравнению (33.23). Единственное, что может дать пик,— это дВх/дх. Но справа опять нет ничего, способного противостоять ему; в результате мы заключаем, что
Bx2=Bx1. (33.29)
И, наконец, последнее из уравнений Максвелла! Уравнение (33.24а) ничего не дает, ибо там нет производных по х. В уравнении (33.236) — одна производная: — с2(дВz/дх), но ей снова нечего противопоставить с другой стороны равенства, поэтому мы получаем
Bz1=Bz2. (33.30)
Совершенно аналогично второе уравнение, которое дает
By1=By2. (33.31)
Итак, последние три условия говорят нам, что В2=В1.
Хочу здесь подчеркнуть, что такой результат получен только потому, что по обеим сторонам границы мы взяли немагнитный материал, вернее, потому, что магнитным эффектом этих материалов мы можем пренебречь. Обычно это вполне допустимо для большинства материалов, за исключением ферромагнетиков. (Магнитные свойства материалов мы будем рассматривать в последующих главах.).