Намагниченность М материала мы определяем как полный магнитный момент единицы объема, под которым мы понимаем векторную сумму всех атомных магнитных моментов единицы объема. Если среднее число атомов в единице объема равно N, а их средний момент равен <m>cp, то М можно записать как произведение N на средний магнитный момент:
м = n<m>cp. (35.8)
Это определение М аналогично определению электрической поляризации Р, данному в гл. 10 (вып. 5).
Классическая теория парамагнетизма, как вы уже убедились в гл. 10 (вып. 5), в точности аналогична теории диэлектрической проницаемости. Предполагается, что магнитный момент m каждого из атомов всегда имеет одну и ту же величину, но может быть направлен в любую сторону. Магнитная энергия в поле В равна -m·B=-mBcosq, где q — угол между моментом и полем. Согласно статистической физике, относительная вероятность угла равна e-энергия/kT так что угол 0° более вероятен, чем угол p. Следуя в точности по пути, проделанному нами в гл. 11, § 3 (вып. 5), мы обнаружим, что для слабых магнитных полей М направлена параллельно В и имеет величину
[См. выражение (11.20), вып. 5.] Эта приближенная формула верна, только когда отношение mB/kT много меньше единицы.
Мы нашли, что намагниченность, т. е. магнитный момент единицы объема, пропорциональна магнитному полю. Это явление и называется парамагнетизмом. Вы увидите, что эффект сильнее проявляется при низких температурах и слабее при высоких. При помещении вещества в магнитное поле возникающий в нем магнитный момент в случае слабых полей пропорционален величине поля. Отношение М к В (для слабых полей) называется магнитной восприимчивостью.
Рассмотрим теперь парамагнетизм с точки зрения квантовой механики. Обратимся сначала к атомам со спином 1/2. Если в отсутствие магнитного поля атомы обладают вполне определенной энергией, то в магнитном поле энергия изменится; возможны два значения энергии для разных значений Jz. Для Jz=+h/2
магнитное поле изменяет энергию на величину
(Для атомов сдвиг энергии DU положителен, ибо заряд электрона отрицателен.) Для Jг =-h/2 энергия изменяется на величину
Для сокращения записи обозначим
тогда
DU = ±m0В. (35.13)
Совершенно ясен и смысл m0; — m0 равно z-компоненте магнитного момента для спина, направленного вверх, а + m0 равно z-компоненте магнитного момента в случае спина, направленного вниз.
Статистическая механика говорит нам, что вероятность нахождения атома в каком-то состоянии пропорциональна
g-(энергия состояния)/kT.
В отсутствие магнитного поля энергия обоих состояний одна и та же, поэтому в случае равновесия в магнитном поле вероятности пропорциональны
е-DU/kT, (35.14)
Число же атомов в единице объема со спином, направленным вверх, равно
а со спином, направленным вниз,
Постоянная а должна определяться из условия
Nвверх+Nвниз=N (35.17)
т.е. равна полному числу атомов в единице объема. Таким образом, мы получаем
Однако нас интересует средний магнитный момент в направлении оси z. Каждый атом со спином, направленным вверх, дает в этот момент вклад, равный -m0, а со спином, направленным вниз, + m0, так что средний момент будет
Тогда М — магнитный момент единицы объема — будет равен N<m>ср. Воспользовавшись выражениями (35.15)—(35.17), получим
Это и есть квантовомеханическая формула для М в случае атомов со спином j=1/2. К счастью, ее можно записать более коротко через гиперболический тангенс: