Для получения однозначных фаз мы просто умножаем каждый член в R на один и тот же фазовый множитель. В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что наши матрицы были приведены к «стандартной форме»; тогда мы сможем пользоваться прямо формулой (4.11) без каких-либо добавочных фазовых множителей.
§ 3. Повороты вокруг оси z
Теперь мы уже подготовлены к тому, чтобы отыскать матрицу преобразования Rji, связывающую два разных представления, Владея нашим правилом объединения поворотов и нашим предположением, что в пространстве нет предпочтительного направления, мы владеем ключом для отыскания матрицы любого произвольного поворота. Решение здесь только одно. Начнем с преобразования, которое отвечает повороту вокруг оси z. Пусть имеются два прибора S и Т, поставленных друг за другом вдоль одной прямой; оси их параллельны и смотрят из страницы на вас (фиг. 4.4, а).
Фиг. 4.4. Поворот на 90° вокруг оси z.
Это их направление мы примем за ось z. Ясно, что если пучок в приборе S идет вверх (к +z), то то же будет и в аппарате Т. Точно так же, если он в S идет вниз, то и в Т он направится вниз. Положим, однако, что прибор Т был повернут на какой-то угол, но его ось, как и прежде, параллельна оси прибора S, как на фиг. 4.4, б. Интуитивно хочется сказать, что пучок (+) в S будет по-прежнему переходить в пучок (+) в Т, потому что и поля, и их градиенты характеризуются тем же физическим направлением. И это вполне правильно. Точно так же и пучок (-) в S будет переходить в пучок (-) в Т. Тот же результат применим для любой ориентации Т в плоскости ху прибора S. Что же отсюда следует для связи между С'+=<+T|y>, С'-=<-T|y> и С+=<+S|y>, С-=<-S |y>? Можно подумать, что любой поворот вокруг оси z «системы отсчета» базисных состояний оставляет амплитуды С± пребывания «вверху» и «внизу» теми же, что и раньше, и написать С'+=С+ и С'-=С-. Но это неверно. Все, что можно отсюда заключить,— это, что при таких поворотах вероятности оказаться в «верхнем» пучке приборов S и Т одинаковы, т. е.
Но мы не вправе утверждать, что фазы амплитуд, относящихся к прибору Т, не могут в двух различных ориентациях а и б (фиг. 4.4) различаться.
Пары приборов, показанных на фиг. 4.4, на самом деле отличаются друг от друга, в чем можно убедиться следующим образом. Предположим, что мы перед прибором S поставили другой, создающий чистое (+x)-состояние. (Ось х направлена на рисунке вниз.) Эти частицы расщеплялись бы в S на пучки (+z) и (-z), но на выходе S (в точке Р1) оба пучка снова соединялись бы и восстанавливали состояние (+ х). Затем то же самое происходило бы в Т. Если бы за Т поставить третий прибор U, ось которого направлена по (+ х). как показано на фиг. 4.5, а, то все частицы пошли бы в пучок (+) прибора U.
Фиг. 4.5. Частица в состоянии (+х) ведет себя в опытах а и б по-разному.
Теперь представим, что произойдет, если Т и U вместе повернуть на 90°, как показано на фиг. 4.5, б. Прибор Т опять будет пропускать все, что в него поступает, так что частицы, входящие в U, будут в (+x)-состоянии по отношению к S. Но U теперь анализирует состояние (+y) (по отношению к S), а это совсем не то, что раньше. (Из симметрии следует ожидать, что через него пройдет только половина частиц.)