Итак, начав просто с некоторых предположений о свойствах пространства, мы вывели преобразование амплитуды при любом повороте. Это означает, что если нам известны амплитуды того, что любое состояние частицы со спином 1/2 перейдет в один из двух пучков прибора Штерна — Герлаха S с осями х, у, z, то мы можем подсчитать, какая часть перейдет в каждый пучок в приборе Т с осями х', у' и z'. Иначе говоря, если имеется состояние y частицы со спином 1/2, у которого амплитуды пребывания вверху и внизу по отношению к оси z системы координат х, у, z равны С+=<+|y> и С-=<-|y>, то тем самым мы знаем амплитуды С+ и C- пребывания вверху и внизу по отношению к оси z' любой другой системы х', у", z' , Четверка коэффициентов в (4.35) — это члены «матрицы преобразования», с помощью которой можно проецировать амплитуды частицы со спином 1/2 в другие системы координат.
Теперь решим несколько примеров, чтобы посмотреть, как все это работает. Возьмем следующий простой вопрос. Пустим атом со спином 1/2 через прибор Штерна — Герлаха, пропускающий только состояние (+z). Какова амплитуда того, что атом окажется в состоянии (+x)? Ось +х — это все равно, что ось +z' системы, повернутой на 90° вокруг оси у. Поэтому в этой задаче проще воспользоваться выражением (4.32), хотя, конечно, можно применить и полное уравнение (4.35). Поскольку С+=1 и С-=0, то получится С'+=1/Ц2. Вероятности -это квадраты модулей этих амплитуд; таким образом, 50% шансов за то, что частица пройдет сквозь прибор, отбирающий состояние (+х). Если бы мы поинтересовались состоянием (-х), то амплитуда оказалась бы -1/Ц2, что опять дало бы вероятность 1/2, чего и следовало ожидать из симметрии пространства. Итак, если частица находится в состоянии (+z), то ей в равной степени вероятно побывать в состояниях (+x) и (-х). Но фазы противоположны.
Ось у тоже без претензий. Частица в состоянии (+z) имеет равные шансы быть в состоянии (+у) или (-у). Но теперь (согласно формуле для поворота на -90° вокруг оси х) амплитуды суть l/Ц2 и -i/Ц2. В этом случае разница в фазах двух амплитуд уже не 180°, как было для (+х) и (-х), а 90°. В этом-то и проявляется различие между х и у.
Вот еще пример. Пусть нам известно, что частица со спином 1/2 находится в состоянии y, поляризованном вверх относительно оси А, определяемой углами q и j (фиг. 4.10).
Фиг. 4.10. Ось А, определяемая полярными углами q и j.
Мы хотим знать амплитуду <C+|y> того, что частица относительно оси z окажется в состоянии «вверх», и амплитуду <C-|y> того, что она окажется в состоянии «вниз» относительно той же оси z. Эти амплитуды мы можем найти, вообразив, что А есть ось z' системы, у которой ось х' направлена произвольно, скажем лежит в плоскости, образованной А и z. Тогда можно перевести систему А в систему х, у, z тремя поворотами. Во-первых, надо сделать поворот на -p/2 вокруг оси A, что переведет ось x в линию В на рисунке. Затем повернуть на — 0 вокруг линии В (вокруг новой оси х системы А), чтобы ось А попала на ось z. И, наконец, повернуть вокруг оси z на угол (p/2-j).
Вспоминая, что вначале было только одно состояние (+) по отношению к А, получаем
Мы хотели бы напоследок подытожить результаты этой главы в форме, которая окажется полезной для нашей дальнейшей работы. Во-первых, напомним, что наш основной результат (4.35) может быть записан в других обозначениях. Заметьте, что (4.35)— это то же самое, что и (4.4) Иначе говоря, в (4.35) коэффициенты при С+=<+S|y> и C'-= <-S|y> суть как раз амплитуды <jT|iS> в (4.4), амплитуды того, что частица в состоянии i по отношению к S окажется в состоянии j по отношению к Т (когда ориентация Т по отношению к S дается углами a, b и g). Мы их также называли RTSji в выражении (4.6). (Чего-чего, а обозначений у нас хватало!) Например,