Здесь имеется в виду то же, что и в (6.25), а именно, что амплитуда обнаружить c в момент t+Dt есть
Поскольку мы еще не очень хорошо разбираемся в этих абстрактных вещах, то давайте спроецируем наши амплитуды в определенное представление. Умножая обе части (6.31) на <i|, получаем
Можно также разложить и |y(t)> на базисные состояния и написать
Понять это можно так. Если через Ci(t)=<i|y|(t)> обозначить амплитуду пребывания в базисном состоянии i в момент t, то можно считать эту амплитуду (помните, это просто число!) меняющейся во времени. Каждое Сi становится функцией времени t. Кроме того, у нас есть информация о том, как амплитуды Сi меняются во времени. Каждая амплитуда в момент (t+Dt) пропорциональна всем прочим амплитудам в момент t, умноженным на ряд коэффициентов. Обозначим U-матрицу через Uij, считая, что
Uij=<i|U|j>.
Тогда (6.34) можно записать так:
Вот как будет выглядеть динамика квантовой механики.
Нам пока мало известно об Uij. Мы знаем только, что при Dt, стремящемся к нулю, ничего не должно произойти, просто должно получиться начальное состояние. Значит, Uij®1 и Uij®0 при i№j. Иными словами, Uij®dij при Dt®0. Кроме того, мы вполне вправе предположить, что при малых At каждый из Uij обязан отличаться от dij на величину, пропорциональную Dt; так что можно писать
Однако обычно по историческим и по иным причинам из коэффициентов Кij выносят множитель
(-i/h) ; предпочитают писать
Это, разумеется, то же самое, что и (6.36). Если угодно, это просто определение коэффициентов Hij(t). Члены Hij — это как раз производные по t2 от коэффициентов Uij(t2, t1), вычисляемые при t2=t1=t,
Подставляя в (6.35) этот вид U, получаем
Суммируя члены с dij, получаем просто Ci(t), что можно перенести в другую сторону уравнения. После деления на Dt мы распознаем в этом производную
или
Вы помните, что Сi(t) — это амплитуда <i|y> обнаружить состояние y в одном из базисных состояний i (в момент t). Значит, уравнение (6.39) сообщает нам, как каждый из коэффициентов <i|y> меняется со временем. Но это все равно, что сказать, что (6.39) сообщает нам, как со временем меняется состояние y, раз мы описываем y через амплитуды < i|y>. Изменение y со временем описывается через матрицу Нij, которая, конечно, должна включать все то, что мы делали с системой, чтобы вызвать ее изменения. Если мы знаем матрицу Hij , которая содержит в себе всю физику явления и может, вообще говоря, зависеть от времени, то у нас есть полное описание поведения системы во времени. Таким образом, (6.39)— это квантовомеханический закон для динамики мира.