Раз мы будем иметь дело только с двухуровневыми системами, то нужный нам гамильтониан будет выглядеть так же, как и в предыдущей главе. Когда гамильтониан не зависит от времени, то известно, что имеются два стационарных состояния с определенными (и обычно разными) энергиями. В общем случае, однако, мы будем начинать наш анализ с выбора базисных состояний (не обязательно этих стационарных состояний), таких, которые, скажем, имеют другой простой физический смысл. Тогда стационарные состояния системы будут представлены линейной комбинацией этих базисных состояний.
Для удобства подытожим важнейшие уравнения, выведенные в гл. 7, Пусть первоначально в качестве базисных состояний были приняты |1> и |2>. Тогда любое состояние |y> представляется их линейной комбинацией:
Амплитуды Сi (под этим подразумеваются как C1 так и С2) удовлетворяют двум линейным дифференциальным уравнениям
где и i, и j принимают значения 1 и 2.
Когда члены гамильтониана Hij не зависят от t, то два состояния с определенной энергией (стационарные), которые мы обозначим
обладают энергиями
Для каждого из этих состояний оба С имеют одинаковую зависимость от времени. Векторы состояний |I> и |II>, которые отвечают стационарным состояниям, связаны с нашими первоначальными базисными состояниями |1> и |2> формулами
Здесь а —комплексные постоянные, удовлетворяющие равенствам
Если H11 и H22 между собой равны, скажем оба равны Е0, а H12=H21=-А, то EI=E0+A, ЕII=Е0-А, и состояния | I> и |II> особенно просты:
Эти результаты мы хотим теперь использовать, чтобы рассмотреть ряд интересных примеров, взятых из химии и физики. Первый пример — это ион молекулы водорода. Положительно ионизированная молекула водорода состоит из двух протонов и одного электрона, как-то бегающего вокруг них. Каких состояний можно ожидать для этой системы, если расстояние между протонами велико? Ответ вполне ясен: электрон расположится вплотную к одному протону и образует атом водорода в его наинизшем состоянии, а другой протон останется одиночкой, положительным ионом. Значит, когда два протона удалены друг от друга, то можно себе наглядно представить одно физическое состояние, в котором электрон «придан» одному из протонов. Существует, естественно, и другое, симметричное первому состояние, в котором электрон находится возле второго протона, а ионом оказывается первый протон. Эту пару состояний мы и сделаем базисными, обозначив их |1> и |2>. Они показаны на фиг. 8.1.
Фиг. 8.1. Совокупность базисных состояний для двух протонов и электрона.
Конечно, на самом деле у электрона возле протона имеется множество состояний, потому что их комбинация может существовать в виде одного из возбуждённых состояний атома водорода. Но нас сейчас не интересует это разнообразие состояний, мы будем рассматривать лишь случай, когда атом водорода пребывает в наинизшем состоянии — своем основном состоянии,— и пренебрежем на время спином электрона. Мы просто предположим, что для всех наших состояний спин электрона направлен вверх по оси z.
Чтобы убрать электрон из атома водорода, требуется 13,6 эв энергии. Столько же энергии — очень много по нашим теперешним масштабам — понадобится и на то, чтобы электрон оказался на полпути между протонами (коль скоро сами протоны сильно удалены друг от друга). Так что по классическим понятиям электрону немыслимо перескочить от одного протона к другому. Однако в квантовой механике это возможно, хоть и не очень вероятно. Существует некая малая амплитуда того, что электрон уйдет от одного протона к другому. Тогда в первом приближении каждое из наших базисных состояний |1> и |2> будет иметь энергию Е0, равную просто сумме энергий атома водорода и протона. Матричные элементы Н11 и H22 гамильтониана мы можем принять приближенно равными Е0. Другие матричные элементы Н12 и Н21, представляющие собой амплитуды перехода электрона туда и обратно, мы опять запишем в виде -А.