Если хотите, идею «абстрагирования» можно продвинуть еще на шаг. Уравнение (9.19) справедливо для всякого состояния |y>. Кроме того, левая сторона ihd/dt — это тоже оператор; его действие: «продифференцируй по t и умножь на ih». Итак, (9.19) можно рассматривать как уравнение между операторами — операторное уравнение
Ih(d/dt)=
Оператор Гамильтона (с точностью до константы), действуя на любое состояние, приводит к тому же результату, что и d/dt. Помните, что это уравнение, как и (9.19), не есть утверждение о том, что оператор
Только для того, чтобы попрактиковаться в этих представлениях, продемонстрируем вам другой вывод уравнения (9.18). Вы знаете, что любое состояние |y> можно записать через его проекции на какой-то базис [см. (6.8)]:
Как же меняется |y> во времени? Продифференцируем его:
Но базисные состояния |i> во времени не меняются (по крайней мере у нас они всегда были определенными, закрепленными состояниями), и только амплитуды <i|y>—это числа, которые могут меняться. Иначе говоря, (9.21) прекращается в
Но ведь d<i|y>/dt нам известно—это (9.16); получается, следовательно,
А это опять-таки уравнение (9.18).
Итак, на гамильтониан можно смотреть по-разному. Можно рассматривать совокупность коэффициентов Hij просто как компанию чисел, можно говорить об «амплитудах» <i|Н|j>, можно представлять себе «матрицу» Hij и можно считать его
«оператором» H^. Все это одно и то же.
Вернемся теперь к нашей системе с двумя состояниями. Если уж мы записываем гамильтониан через матрицы сигма (с подходящими численными множителями, такими, как Вх и т. д.), то естественно рассматривать и sxij как амплитуду < i|sх|j>, или, для краткости, как оператор s^л. Если применить эту идею оператора, то уравнение движения состояния |y> в магнитном поле можно написать в виде
Желая «использовать» это уравнение, нам, естественно, приходится выражать |y> через базисные векторы (равносильно тому, что приходится находить компоненты пространственных векторов, когда задача доводится до числа). Так что обычно мы предпочитаем расписывать (9.23) в более раскрытом виде:
Сейчас вы увидите, чем красива идея оператора. Чтобы применять уравнение (9.24), нужно знать, что будет, когда операторы о подействуют на каждое базисное состояние. Напишем s^z|+>; это какой-то вектор |?>, но какой? Что ж, умножим его слева на <+| и получим
(пользуясь табл. 9.1). Итак, мы знаем, что
<+|?>=1. (9.25)
Теперь умножим s^z|+> слева на <-|. Получится
т, е.
Существует только один вектор состояния, удовлетворяющий и (9.25), и (9.26); это |+>. Мы, стало быть, открыли, что
Такого рода рассуждениями можно легко показать, что все свойства матриц сигма могут быть в операторных обозначениях описаны рядом правил, приведенных в табл. 9.3.
Таблица 9.3 · СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА s^
Если у нас есть произведения матриц сигма, то они переходят в произведения операторов. Когда два оператора стоят рядом в виде произведения, то сперва приступает к операции тот оператор, который стоит правее. Скажем, под s^xs^y|+> надо понимать s^х(s^y|+>). Из табл. 9.3 получаем s^y|+>=i|-> так что