Фейнмановские лекции по физике 8a

Напомним, что полные скобки — это просто комплексные числа, так что их можно обозначить обычным образом через С_i, где i=l, 2, 3 или 4, и записать (10.2) в виде

Задание четверки амплитуд С_i полностью описывает спиновое состояние |y>. Если эта четверка меняется во времени (как это и будет на самом деле), то скорость изменения во времени дается оператором Н^. Задача в том, чтобы найти этот оператор H^ .

Не существует общего правила, как писать гамильтониан атомной системы, и отыскание правильной формулы требует большего искусства, чем отыскание системы базисных состояний. Мы вам смогли дать общее правило, как записывать систему базисных состояний для любой задачи, в которой есть протон и электрон, но описать общий гамильтониан такой комбинации на этом уровне слишком трудно. Вместо этого мы подведем вас к гамильтониану некоторыми эвристическими рассуждениями, и вам придется признать его .правильным, потому что результаты будут согласовываться с экспериментальными наблюдениями.

Вспомните, что в предыдущей главе мы смогли описать гамильтониан отдельной частицы со спином ¹/₂, применив сигма-матрицы или в точности эквивалентные им сигма-операторы. Свойства операторов сведены в табл. 10.1. Эти операторы, являющиеся просто удобным, кратким способом запоминания матричных элементов типа <+|s_z|+> были полезны для описания поведения отдельной частицы со спином ¹/₂. Возникает вопрос, можно ли отыскать аналогичное средство для описания системы с двумя спинами. Да, и очень просто. Вот смотрите. Мы изобретем вещь, которую назовем «электрон-сигма» и которую будем представлять векторным оператором s^e с тремя компонентами s^e_x, s^e_y и s^e_z. Дальше условимся, что когда одна из них действует

Таблица 10.1 · СВОЙСТВА СИГМА-ОПЕРАТОРОВ

на какое-то из наших четырех базисных состояний атома водорода, то она действует на один только спин электрона, причем гак, как если бы электрон был один, сам по себе. Пример: чему равно s_y^е |-+>? Поскольку s_y , действующее на электрон со спином вниз, дает -i, умноженное на состояние с электроном, у которого спин вверх, то

s^e_y|-+>=-i|++>.

(Когда s_y^е действует на комбинированное состояние, оно переворачивает электрон, не затрагивая протон, и умножает результат на -i.) Действуя на другие состояния, s^е_у даст

Напомним еще раз, что оператор s^е действует только на первый спиновый символ, т. е. на спин электрона.

Теперь определим соответствующий оператор «протон-сигма» для спина протона. Три его компоненты s^p_x, s^py, s^p_z, действуют так же, как и s^е, но только на протонный спин. Например, если s^p_x будет действовать на каждое из четырех базисных состояний, то получится (опять с помощью табл. 10.1)

Как видите, ничего трудного. В общем случае могут встретиться вещи и посложнее. Например, произведение операторов s^e_ys^p_z. Когда имеется такое произведение, то сначала делается то, что хочет правый оператор, а потом — чего требует левый. Например,

Заметьте, что эти операторы с числами ничего не делают; мы использовали это, когда писали s^e_x(-1)=(-1) s^e_x . Мы говорим, что операторы «коммутируют» с числами или что числа «можно протащить» через оператор. Попрактикуйтесь и покажите, что произведение s^е_хs^p_z дает для четырех состояний следующий результат:

Если перебрать все допустимые операторы, каждый по разу, то всего может быть 16 возможностей. Да, шестнадцать, если включить еще «единичный оператор» 1. Во-первых, есть тройка s^е_х, s^е_y, s^е_z, затем тройка s^p_x, s^p_y, s^p_z, итого шесть. Кроме того, имеется девять произведений вида s^е_хs^p_y, итого 15. И еще единичный оператор, оставляющий все состояния нетронутыми. Вот и все шестнадцать!