Каков же этот гамильтониан? Мы просто сообщим вам ответ, потому что никакого «доказательства» дать не можем, разве что сказать, что именно так устроен атом.
Гамильтониан имеет вид
Теперь он состоит из трех частей. Первый член А(sе·sр) представляет магнитное взаимодействие между электроном и протоном; оно такое же, как если бы магнитного поля не было. Влияние внешнего магнитного поля проявляется в остальных двух членах. Второй член (-mеsе·В) — это та энергия, которой электрон обладал бы в магнитном поле, если бы он там был один. Точно так же последний член (-mрsр·В) был бы энергией протона-одиночки. Согласно классической физике, энергия их обоих вместе была бы суммой их энергий; по квантовой механике это тоже правильно. Возникающая из-за наличия магнитного поля энергия взаимодействия равна просто сумме энергий взаимодействия электрона с магнитным полем и протона с тем же полем, выраженных через операторы сигма. В квантовой механике эти члены в действительности не являются энергиями, но обращение к классическим формулам для энергии помогает запоминать правила написания гамильтониана. Как бы. то ни было, (10.27) — это правильный гамильтониан.
Теперь нужно вернуться к началу и решать всю задачу сызнова. Но большая часть работы уже сделана, надо только добавить эффекты, вызываемые новыми членами. Примем, что магнитное поле В постоянно и направлено по z. Тогда к нашему старому гамильтонову оператору Н^ надо добавить два новых куска; обозначим их Н^':
Пользуясь табл. 10.1, мы сразу получаем
Смотрите, как удобно! Оператор Н', действуя на каждое состояние, дает просто число, умноженное на это же состояние. В матрице <i|H'|j> есть поэтому только диагональные элементы, и можно просто добавить коэффициенты из (10.28) к соответствующим диагональным членам в (10.13), так что гамильтоновы уравнения (10.14) обращаются в
Форма уравнений не изменилась, изменились только коэффициенты. И пока В не меняется со временем, можно все делать так же, как и раньше.
Подставляя
К счастью, первое и четвертое уравнения по-прежнему не зависят от остальных, так что снова пойдет в ход та же техника. Одно решение — это состояние |I>, для которого
или
Другое решение
Для остальных двух уравнений потребуется больше работы, потому что коэффициенты при а2 и a3 уже не равны друг другу. Но зато они очень похожи на ту пару уравнений, которую мы писали для молекулы аммиака. Оглядываясь на уравнения (7.20) и (7.21), можно провести следующую аналогию (помните, что тамошние индексы 1 и 2 соответствуют здесь индексам 2 и 3):
Раньше энергии давались формулой (7.25), которая имела вид
Подставляя сюда (10.33), получаем для энергии
В гл. 7 мы привыкли называть эти энергии ЕI и ЕII, теперь мы их обозначим ЕIII и EIV:
Итак, мы нашли энергии четырех стационарных состояний атома водорода в постоянном магнитном поле. Проверим наши выкладки, для чего устремим В к нулю и посмотрим, получатся ли те же энергии, что и в предыдущем параграфе. Вы видите, что вес в порядке. При В=0 энергии ЕI, ЕII и ЕIII обращаются в +А, a EIV — в -ЗА. Даже наша нумерация состояний согласуется с прежней. Но когда мы включим магнитное поле, то каждая энергия начнет меняться по-своему. Посмотрим, как это происходит.