В атоме водорода мы с вами отыскали систему со спином 1, составленную из двух частиц со спином 1/2. В гл. 4 мы уже научились преобразовывать амплитуды для спина 1/2. Эти знания можно применить к тому, чтобы получить преобразование для спина 1. Вот как это делается: имеется система (атом водорода с энергией +А) со спином 1. Пусть мы пропустили ее сквозь фильтр S Штерна — Герлаха так, что знаем теперь, что она находится в одном из базисных состояний по отношению к S, скажем в |+S). Какова амплитуда того, что она окажется в одном из базисных состояний, скажем |+T), по отношению к прибору Т? Если вы назовете систему координат прибора S системой х, у, z, то состояние |+S> — это то, что недавно называлось состоянием |+ +>. Но представьте, что какой-то ваш приятель провел свою ось z вдоль оси Т. Он свои состояния будет относить к некоторой системе х', у', z'. Его состояния «вверх» и «вниз» для электрона и протона отличались бы от ваших. Его состояние «плюс — плюс», которое можно записать | +'+'>, отмечая «штрихованность» системы, есть состояние |+Т> частицы со спином 1. А вас интересует <+T|+S>, что есть просто иной способ записи амплитуды <+'+' | + + >.
Амплитуду <+ '+' | + +> можно найти следующим образом. В вашей системе спин электрона из состояния | + +> направлен вверх. Это означает, что у него есть некоторая амплитуда <+'|+>e оказаться в системе вашего приятеля спином вверх и некоторая амплитуда <-' |+>е оказаться в этой системе спином вниз. Равным образом, протон в состоянии + + У имеет спин вверх в вашей системе и амплитуды <+'|+>р и <-'|+>p оказаться спином вверх или вниз в «штрихованной» системе. Поскольку мы говорим о двух разных частицах, то амплитуда того, что обе частицы вместе в его системе окажутся спинами вверх, равна произведению амплитуд
Мы поставили значки е и р под амплитудами <+'|+>, чтоб было ясно, что мы делаем. Но обе они — это просто амплитуды преобразований для частицы со спином 1/2, так что на самом деле — это одни и те же числа. Фактически — это те же амплитуды, которые мы в гл. 4 называли <+Т|+S> > и которые мы привели в табл. 4.1 и 4.2.
Но теперь, однако, нам угрожает путаница в обозначениях. Надо уметь различать амплитуду <+T|+S) для частицы со спином 1/2 от того, что мы также назвали <+T|+S>, но для спина 1—между ними нет ничего общего! Надеюсь, вас не очень собьет с толку, если мы на время введем иные обозначения амплитуд для спина 1/2, Они приведены в табл. 10.4. Для состояний частиц спина 1 мы по-прежнему будем прибегать к обозначениям | +S, | 0S> и |-S>.
Таблица 10.4 · АМПЛИТУДЫ для СПИНА 1/2
В наших новых обозначениях (10.44) просто превращается в
Это как раз амплитуда <+T|+S> для спина 1. Теперь давайте, например, предположим, что у вашего приятеля система координат, т. е. «штрихованный» прибор Т, повернута вокруг вашей оси z на угол j; тогда из табл. 4.2 получается
Значит, из (10.44) амплитуда для спина 1 окажется равной
Теперь вам понятно, как мы будем действовать дальше.
Но хорошо бы провести выкладки в общем случае для всех состояний. Если протон и электрон в нашей системе (системе S) оба смотрят вверх, то амплитуды того, что в другой системе (системе Т) они будут в одном из четырех возможных состояний,
равны
Затем мы можем записать состояние |+ +> в виде следующей линейной комбинации:
Но теперь мы замечаем, что |+ '+'> — это состояние |+Т>, что {| + '-'>+|-'+'>} — это как раз Ц2, умноженный на состояние |0T> [см. (10.41)], и что | - '-'> = |-Т>. Иными словами, (10.47) переписывается в виде