Но что сталось бы чуть позже? По аналогии с изученными нами системами с двумя состояниями мы предлагаем составить гамильтоновы уравнения для этой системы в виде уравнений такого типа:
Первый справа коэффициент Е0 физически означает энергию, которую имел бы электрон, если бы он не мог просачиваться от одного атома к другим. (Совершенно неважно, что мы назовем , Е0; мы неоднократно видели, что реально это не означает ничего, кроме выбора нуля энергии.) Следующий член представляет амплитуду в единицу времени того, что электрон из (n+1)-й ямки просочится в n-ю ямку, а последний член означает амплитуду просачивания из (n-1)-й ямки. Как обычно, А считается постоянным (не зависящим от t).
Для полного описания поведения любого состояния |j> надо для каждой из амплитуд Сn иметь по одному уравнению типа (11.3). Поскольку мы намерены рассмотреть кристалл с очень большим количеством атомов, то допустим, что состояний имеется бесконечно много, атомы тянутся без конца в обе стороны. (При конечном числе атомов придется специально обращать внимание на то, что случается на концах.) А если количество N наших базисных состояний бесконечно велико, то и вся система наших гамильтоновых уравнений бесконечна! Мы напишем только часть ее:
§ 2. Состояния определенной энергии
Об электроне в решетке мы теперь уже можем узнать очень многое. Для начала попробуем отыскать состояния определенной энергии. Как мы видели в предыдущих главах, это означает, что надо отыскать такой случай, когда все амплитуды меняются с одной частотой, если только они вообще меняются. Мы ищем решение в виде
Комплексное число аn говорит нам о том, какова не зависящая от времени часть амплитуды того, что электроны будут обнаружены возле n-го атома. Если это пробное решение подставить для проверки в уравнения (11.4), то получим
Перед нами бесконечное число уравнений для бесконечного количества неизвестных аn! Ситуация тяжелая!
Но мы знаем, что надо только взять детерминант... нет, погодите! Детерминанты хороши, когда уравнений два, три или четыре. Но здесь их очень много, даже бесконечно много, и вряд ли от детерминантов будет толк. Нет, лучше попробовать решать эти уравнения прямо. Во-первых, пронумеруем положения атомов; будем считать, что n-й атом находится в хn, а (n+1)-й— в хn+1. Если расстояние между атомами равно b (как на фиг. 11.1), то хn+1=хn+b. Взяв начало координат в атоме номер нуль, можно даже получить хn=nb. Уравнение (11.5) можно тогда переписать в виде
а уравнение (11.6) превратится в
Пользуясь тем, что xn+1=xn+b, это выражение можно также записать в виде
Это уравнение немного походит на дифференциальное. Оно говорит, что величина а(х) в точке хn связана с той же физической величиной в соседних точках хn±b. (Дифференциальное уравнение связывает значения функции в точке с ее значениями в бесконечно близких точках.) Может быть, здесь подойдут методы, которыми мы обычно пользуемся для решения дифференциальных уравнений? Попробуем.
Решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами всегда могут быть выражены через экспоненты. Попробуем и здесь то же самое; в качестве пробного решения выберем
Тогда (11.9) обратится в
Сократим на общий множитель
Два последних члена равняются 2Аcoskb, так что