Начнем с того, что напомним некоторые общие принципы квантовой механики. Пусть имеется частица, которая может в квантовомеханической системе существовать в разных условиях. Любые заданные условия, в которых может быть обнаружен электрон, мы называем «состоянием» и отмечаем их при помощи вектора состояния, скажем |j>. В каких-то других условиях и метка будет другая, скажем вектор состояния |y>. Затем мы вводим идею о базисных состояниях. Мы говорим, что имеется совокупность состояний | 1 >, | 2>, | 3>, | 4> и т. д., обладающая следующими свойствами. Во-первых, все эти состояния совершенно различны — мы говорим, что они ортогональны. Под этим мы понимаем, что для любой пары базисных состояний | i> и |j> равна нулю амплитуда <i|j> того, что электрон, будучи в состоянии | j>, окажется также и в состоянии <i| , если только, конечно, |i> и |j> не обозначают одного и того же состояния. Все это символически представляется
так:
<i|j>=dij (14.3)
Вспомните, что dij=0, если i и j различны, и dij=1, если i и j одинаковые числа.
Далее, базисные состояния |i> обязаны быть полной совокупностью, так чтобы любое состояние могло быть выражено на их языке. Иначе говоря, любое состояние |j> может быть полностью описано заданием всех амплитуд <i|j> того, что частица в состоянии |j> обнаружится также в состоянии |i>. Вектор состояния |j> представляется суммой базисных состояний, умноженных каждое на коэффициент, являющийся амплитудой того, что состояние |j> находится также в состоянии |i>:
Наконец, если рассмотреть любые два состояния |j> и |y>, то амплитуду того, что состояние |y> окажется также в состоянии |j>, можно найти, проецируя сперва состояние |y> на базисные состояния, а затем каждое из базисных состояний — на состояние |j>. Это записывается так:
Суммирование, конечно, проводится по всей совокупности базисных состояний | i>.
В гл. 11, когда мы рассчитывали, что бывает с электроном, помещенным в линейную цепочку атомов, вы выбрали совокупность базисных состояний, в которых электрон был расположен близ того или иного из атомов цепочки. Базисное состояние |n> представляло электрон, локализованный (расположенный) возле атома номер п. (Конечно, неважно, обозначать ли наши базисные состояния |n> или |i>.) Чуть позже мы нашли, что базисные состояния удобнее метить координатой атома, а не номером атома в цепочке. Состояние | хn> — это просто другой способ записи состояния |n>. Тогда, следуя общему правилу, любое состояние |y> можно описать заданием того, что электрон в состоянии |y> находится также в одном из состояний |хn>. Для удобства мы решили обозначать эти амплитуды символом
Cn=<xn|y>. (14.6)
Поскольку базисные состояния связаны с местоположением электрона на линии, то амплитуду Сn можно рассматривать как функцию координаты х и писать ее в виде С(хn). Амплитуды С(хn) будут в общем случае меняться во времени и поэтому суть также функции от t, но мы не будем отмечать эту зависимость явно.
Кроме того, в гл. 11 мы предположили, что амплитуды С(хn) обязаны меняться во времени так, как положено по гамильтонову уравнению (11.3). В нашем новом обозначении это уравнение имеет вид
Два последних слагаемых в правой части представляют такой процесс, когда электрон, находившийся возле атома (n+1) или возле атома (n-1), окажется возле атома (n).
Мы нашли, что (14.7) имеет решения, отвечающие состояниям определенной энергии. Мы записывали их в виде
У состояний с низкой энергией длины волн велики (k мало) и энергия связана с k формулой