iэлектрон в узком интервале Dх вблизи х должна быть пропорциональна длине интервала Dх, мы выберем такое определение <х |y>, чтобы соблюдалось следующее условие: Вер. (х, Dх)=| <x|y|>|2Dх. Амплитуда <x|y> поэтому пропорциональна амплитуде того, что электрон в состоянии y будет обнаружен в базисном состоянии х, а коэффициент пропорциональности выбран так, что квадрат абсолютной величины амплитуды <x|y> дает плотность вероятности обнаружить электрон в любом узком интервале. Можно писать и так:
Вер. (x, Dх)=| y (х)|2 Dх. (14.17)
Теперь надо изменить некоторые наши прежние уравнения, чтобы согласовать их с этим новым определением амплитуды вероятности. Пусть имеется электрон в состоянии |y>, а мы хотим знать амплитуду того, что он будет обнаружен в другом состоянии |y>, которое может соответствовать другим условиям размазанности электрона. Когда речь шла о конечной системе дискретных состояний, мы пользовались уравнением (14.5). До изменения нашего определения амплитуд мы должны были писать
А теперь если обе эти амплитуды нормированы так, как описано выше, то сумма по всем состояниям из узкого интервала х будет эквивалентна умножению на Dx, а сумма по всем значениям х превратится просто в интеграл. При наших измененных определениях правильная формула будет такой:
Амплитуда <x|y> — это то, что мы теперь называем y (х); точно так же амплитуду <x|y> мы обозначим j(х). Вспоминая, что <j|x> комплексно сопряжена с <x|j>, мы можем (14.18) переписать в виде
При наших новых определениях все формулы останутся прежними, если только всюду знак суммы заменить интегрированием по х.
К тому, что было сказано, нужно сделать одну оговорку. Любая подходящая система базисных состояний должна быть полной, если хотят, чтобы она сполна отражала все, что происходит. Для одномерного движения электрона в действительности недостаточно указать только базисные состояния |x>, потому что в каждом из этих состояний спин электрона может быть направлен вверх или вниз. Один из способов получить полную систему — взять две совокупности состояний по х: одну для спина вверх, другую для спина вниз. Мы, впрочем, пока не будем входить в такие подробности.
§ 3. Состояния с определенным импульсом
Пусть у нас имеется электрон в состоянии |y>, описываемом амплитудой вероятности (х|y>=y (х). Мы знаем, что y (х) обозначает состояние, в котором электрон размазан по прямой по какому-то закону, так что вероятность обнаружить его в узком интервале dx близ точки х попросту равна
Вер. (х, dx)=|y (х)|2dx.
Что можно сказать об импульсе этого электрона? Можно спросить, какова вероятность того, что импульс этого электрона равен р? Начнем с расчета амплитуды того, что состояние |y> присутствует в другом состоянии | имп. p>, которое мы определим как состояние с определенным импульсом р. Эту амплитуду можно найти, применяя наше основное уравнение для разложения амплитуд (14.20). В терминах состояний |имп. p>
А вероятность того, что у электрона будет обнаружен импульс р, выразится квадратом абсолютной величины этой амплитуды. Но опять возникает тот же вопрос насчет нормирования. Ведь вообще можно говорить только о вероятности обнаружить электрон с импульсом в узкой области dp близ значения р. Вероятность того, что импульс в точности равен р, равна нулю (разве что состояние |y> окажется состоянием с определенным импульсом). Только вероятность обнаружить импульс в интервале dp возле значения р может оказаться конечной. Нормировку можно делать по-разному. Мы выберем тот способ нормировки, который нам кажется особенно удобным, хотя вам сейчас это может так и не показаться.