Это количественная формулировка принципа неопределенности Гейзенберга, который качественно нам уже давно известен. Мы обычно делали приближенное утверждение: наименьшее значение произведения DpDx — это число порядка h.
§ 4. Нормировка состояний с определенной координатой х
Теперь мы вернемся к обсуждению тех изменений в наших основных уравнениях, которые необходимо сделать для работы с континуумом базисных состояний. Когда имеется конечное число дискретных состояний, то фундаментальное условие, которому должна удовлетворять система базисных состояний, имеет вид
Если частица пребывает в одном базисном состоянии, то амплитуда пребывания в другом базисном состоянии равна нулю. С помощью подходящей нормировки можно так определить амплитуду <i|j>, чтобы она была равна единице. Оба эти условия содержатся в (14.36). Теперь мы хотим понять, как надо видоизменить это соотношение, когда пользуются базисными состояниями частицы на прямой. Если известно, что частица пребывает в одном из базисных состояний |х>, то какова амплитуда того, что она пребывает в другом базисном состоянии |x'>? Если х и х' — две разные точки прямой, то амплитуда <x|х'>, конечно, есть нуль, что согласуется с (14.36). Но когда х и х' равны, то амплитуда <x|х' > не будет равна единице из-за той же старой проблемы нормировки. Чтобы увидеть, как надо все подправить, вернемся к (14.19) и применим это уравнение к частному случаю, когда состояние |j> — просто-напросто базисное состояние |х'>. Тогда получится
Далее, амплитуда <x|y> — это как раз то, что мы назвали функцией y (х). Подобно атому а амплитуда <x'|y>, поскольку она относится к тому же состоянию y, является той же функцией переменной х', а именно y (х'). Поэтому (14,37) можно переписать так;
Уравнение должно выполняться для любого состояния y и, стало быть, для любой функции y (х). Это требование обязано полностью определить природу амплитуды <x|х'), которая, конечно, есть попросту функция, зависящая от х и х'.
Наша задача теперь состоит в том, чтобы отыскать функцию f(х, х'), которая после умножения на y (х) и интегрирования по всем х даст как раз величину y (х'). Но оказывается, что не существует математической функции, которая это умеет делать! По крайней мере не существует ничего похожего на то, что мы обычно имеем в виду под словом «функция».
Выберем какое-нибудь значение х', например 0, и определим амплитуду <0|x> как некую функцию х, скажем f(х). Тогда (14.38) обратится в
Какого же вида функция f(х) могла бы удовлетворить такому уравнению? Раз интеграл не должен зависеть от того, какие значения принимает y (х) при х, отличных от нуля, то ясно, что f(х) должна быть равна нулю для всех значений х, кроме нуля. Но если f(х) всюду равна нулю, то интеграл будет тоже равен нулю, и уравнение (14.39) не удастся удовлетворить. Возникает невозможная ситуация: нам нужно, чтобы функция была нулем всюду, кроме одной точки, и давала все же конечный интеграл. Что ж, раз мы не в состоянии сыскать функцию, которая так поступает, то простейший выход — просто сказать, что функция f(х) определяется уравнением (14.39). И именно f(х) — такая функция, которая делает (14.39) правильным. Функция, которая умеет это делать, впервые была изобретена Дираком и носит его имя. Мы обозначаем ее d (х). Все, что о ней утверждается — это что функция d(х) обладает странным свойством: если ее подставить вместо f(х) в (14.39), то интеграл выберет то значение, которое y (х) принимает при х=0; и поскольку интеграл не должен зависеть от y (х) при х, отличных от нуля, то функция d(х) должна быть нулем всюду, кроме х=0. Словом, мы пишем