Эти лекции появились более 30 лет назад. Мы можем посмотреть на некоторые аспекты анализа Фейнмана вопросов квантовой гравитации и взглянуть в тех направлениях, в которых были проведены исследования.
Связь геометрии и квантовой теории поля
Стандартный и исторический подход к классической гравитации состоит в том, чтобы начать с рассмотрения принципа эквивалентности и развивать в дальнейшем геометрическую точку зрения. Фейнман гордился тем, что он редко следовал стандартному подходу. В углу доски в своём служебном кабинете он написал ”Что я не могу создать, я не понимаю.” Это выражение фактически оставалось нетронутым в углу этой доски в течении более 7 лет. Я впервые увидел его в конце 1980 года, и оно всё ещё оставалось там в феврале 1988 года (см. [Feyn 89]). Таким образом, не удивительно, что Фейнман воссоздаёт общую теорию относительности, исходя не с геометрической точки зрения. Практическая сторона такого подхода состоит в том, что не стоит с самого начала изучать некоторые выкрутасы (”fancy-schmanzy”, как он любил называть это) дифференциальной геометрии для того, чтобы выучить физику гравитации. (На самом деле, существует только необходимость изучить некоторые аспекты квантовой теории поля). Тем не менее, когда конечной целью стала проблема квантования гравитации, Фейнман почувствовал, что геометрическая интерпретация как раз и находится у него на пути. С точки зрения теории поля можно было бы действительно избежать определения таких вещей, как физическое значение квантовой геометрии, флуктуирующая топология, пространственно-временная пена и т.д., а вместо этого посмотреть геометрическое понимание после квантования. (См., например, вопрос Сакса и ответ Фейнмана в работе [Feyn 63b]). Фейнман определённо чувствовал, что геометрическая интерпретация является ”удивительной” (раздел 8.4), но тот факт, что безмассовое поле спина 2 может интерпретироваться как метрика, было просто ”совпадением”, которое "может быть понято как представление некоторого вида калибровочной инвариантности”.
Сейчас у нас есть геометрическая интерпретация классических калибровочных теорий, таких к ах электродинамика и теория Янга-Миллса (см., например, [Yang 77]). Векторные потенциалы
𝐴
α
μ
являются коэффициентами связности на главном расслоённом пространстве, где структурная группа есть калибровочная группа (𝑈(1) для электромагнетизма, 𝑆𝑈(2) для полей Янга - Миллса и 𝑆𝑈(3) для классической хромодинамики). Напряжённости поля 𝐹μν (т.е. электрические и магнитные поля в электродинамике) являются компонентами кривизны, ассоциированными со связностями (потенциалами). Заряженное вещество, которое поле связывает, ассоциируется с векторным расслоением (см., например, [DrMa 77]). Отсюда следует, что интуитивная догадка Фейнмана о связи между геометрией и калибровочной инвариантностью оказывается правильной. С точки зрения фейнмановского интеграла по траекториям, квантовая электродинамика и квантовая хромодинамика равнозначно интегралам по пространству связностей на главном расслоённом пространстве. В то время, как может быть показано, что геометрическая интерпретация калибровочных полей не помогает решить проблемы квантовой электродинамики (КЭД) или квантовой хромодинамики (КХД) (т.е. адекватным образом вычислить или оценить эти интегралы), это несомненно приводит ко многим полезным интуитивным догадкам о топологических аспектах этих теорий (например, неоднозначность Грибова, инстантоны, вакуумный угол и топологически неэквивалентные вакуумы) и к построению новых калибровочных теорий типа Янга -Миллса с топологическими массами.
Спин гравитона и антигравитация
Выгодность теоретико-полевого развития теории гравитации состоит в том, что то, что (находящийся в оболочке) гравитон является безмассовым и имеет спин 2, получается непосредственно без того, чтобы начинать с полностью согласованной, полностью ковариантной теории, т.е. без привлечения Принципа Общей Ковариантности. Это выглядит как построение теории гравитации снизу вверх, вместо того, чтобы строить сверху вниз, используя полный геометрический аппарат. Развитие теории начинается в разделе 2.3 лекций и продолжается в разделах 3.1 - 3.4. Краткое изложение этого аргумента состоит в следующем.
В квантовой теории поля точечных частиц сила между двумя частицами передаётся путём обмена виртуальными (или безоболочечными) частицами. С каждой силой ассоциируется заряд. Заряженные частицы чувствуют силу путём связи или взаимодействия с частицами, которые переносят эту силу. Наиболее привычным примером является электродинамика. Частицы, которые чувствуют силу, переносят электрический заряд. Электромагнитная сила передаётся путём обмена фотонами со спином 1. Сами фотоны незаряжены и, следовательно, напрямую не взаимодействуют друг с другом. Получившиеся в результате полевые уравнения являются линейными. В КХД, теории сильного взаимодействия, построенной из калибровочной теории Янга - Миллса (сильное взаимодействие ответственно за сдерживание вместе нуклонов и, таким образом, за существование атомных ядер), этот заряд называется цветом. Фундаментальные частицы, которые чувствуют сильное взаимодействие, являются цветными кварками, а частицы, которые переносят силу, называются глюонами. Сами глюоны являются частицами с цветовым зарядом, отсюда следует, что в отличие от фотона, они могут напрямую взаимодействовать друг с другом, и результирующие полевые уравнения являются нелинейными. Заряд, связанный с гравитацией, есть масса, которая, как мы полагаем, исходя из специальной теории относительности, должна быть эквивалентна энергии. Так как мы знаем почти всё, что имеет энергию, то гравитация должна взаимодействовать со всем. Частица, которая переносит гравитационную силу, называется гравитоном. Так как гравитон имеет энергию, гравитоны должны непосредственно взаимодействовать друг с другом.
Если теория поля используется для описания гравитации, тогда эта теория должна воспроизводить Закон Всемирного Тяготения Ньютона в соответствующем статическом нерелятивистском пределе, т.е. мы должны вновь получить