Единственный способ получить улучшенное поведение теории в ультрафиолетовой области состоит в том, чтобы иметь больше симметрии, встроенной в теорию. Таким образом, обобщения или модификации общей теории относительности для того, чтобы улучшить квантовое поведение теории, основываются главным образом на дополнительных симметриях. Один из популярных подходов называется ”супергравитацией” (см., например, [vanN 81]). Этот подход основан на симметрии между бозонными и фермионными полями и называется ”суперсимметрией”. Когда суперсимметричная теория калибруется таким образом, что эта суперсимметрия становится локальной (различные преобразования суперсимметрии разрешаются в каждой точке пространства-времени), калибровочная инвариантность с необходимостью включает в себя Принцип Общей Ковариантности и, следовательно, гравитацию. По существу, каждое бозонное поле имеет суперсимметричного фермионного партнёра и обратно. Ультрафиолетовое поведение теории улучшается, поскольку часто обычный расходящийся бозонный (фермионный) вклад от петель сокращается фермионным (бозонным) вкладом суперпартнера. Другими словами, суперсимметрия строго ограничивает типы контрчленов, которые могут быть порождены. К сожалению, когда размерность пространства-времени равна 4, имеются ещё потенциальные контрчлены (начиная с семи петель в наилучшем случае). В то же самое время никто не знает наверняка какого-либо рода дополнительную или скрытую симметрию или какое-либо волшебство, возникающее для того, чтобы сделать теорию конечной.
В настоящее время наиболее многообещающим кандидатом теории квантовой гравитации является струнная теория. Струнная теория есть квантовая теория, в которой составной частью являются одномерные протяжённые объекты (как противопоставление точечным частицам в обычной квантовой теории поля), см., например, [GSW 87], [Hatf 92]). Если струнная теория используется для того, чтобы унифицировать все фундаментальный силы (т.е. это ”теория всего”), тогда основная идея состоит в том, что вещество делается из очень маленьких струн, чей размер порядка длины Планка. На обычных энергетических масштабах такие струны будут неразрешимы и неотличимы от точек. Унификация достигается в том, что все частицы, которые мы находим, являются только возбуждениями одной и той же струны. Одна мода осцилляций струны является безмассовой со спином, равным 2, и может идентифицироваться как гравитон, отсюда следует, что струнная теория с необходимостью содержит квантовую гравитацию. Такое возбуждение в струнной теории проистекает из открытия того, что существуют пертурбативные решения, которые математически самосогласованы или свободны от аномалий, и оказываются конечными порядок за порядком в рядах теории возмущений.
Интуитивно улучшенное ультрафиолетовое поведение струнной теории возникает потому, что струнная теория включает в себя гигантскую симметрию (модулярную инвариантность). Теория струн модифицирует гравитацию точечной частицы на малом расстоянии путём обмена состояниями массивной струны, что подобно тому, как теория электрослабого взаимодействия улучшает ультрарелятивистское поведение старой 4-фермионной теории слабого взаимодействия путём замены 4 - фермионной вершины с заменой массивных калибровочных бозонов 𝑊± и 𝑍⁰. Константа связи в старой теории Ферми обладает отрицательной величиной массы, и эта теория неперенормируема. Калибровочная теория электрослабого взаимодействия заменяет эту связь безразмерными константами связи, связанными с обменом бозоном, и теория становится перенормируемой. Струнная теория также вводит новую константу связи, натяжение струны 𝑇, которое в обычных единицах эквивалентно обратному квадрату длины 𝐿=√𝑐ℏ/π𝑇. Напомним, что единственный масштаб длины, который может быть построен с помощью гравитационной постоянной 𝐺, ℏ и скоростью света 𝑐, это планковский масштаб 𝐿𝑃=√𝐺ℏ/𝑐³. Естественный выбор единиц для струны делает скорость света и натяжение струны безразмерными, 𝑐=1 и 𝑇=1/π. В этих единицах (исключая ℏ из приведённых выше выражений для 𝐿 и 𝐿(𝑃), гравитационная константа будет безразмерной, 𝐺=(𝐿(𝑃)/𝐿)².
Одним любопытным свойством теории струн, которое сильно отличает её от теории точечных частиц, состоит в том, что размерность пространства-времени не является внутреннем свойством самой теории. На самом деле, размерность пространства-времени есть свойство частного решения. Свободные от аномалий решения при 𝑁=1 мировом листе суперсимметрии могут быть найдены при размерности пространства-времени 𝐷 меньшей или равной, чем так называемая критическая размерность 𝐷𝑐, которая равна быть может 10.
К сожалению, в то время как отдельные члены в рядах теории возмущений являются конечными, сумма ряда расходится [GrPe 88]. И в то время, как теория струн является вероятно единственной в своём роде, решения этой теории определённо не являются такими. Не существует пертурбативного механизма для того, чтобы выбрать частное решение или выбрать правильный вакуум. В этом смысле, пертурбативная формулировка теории струн теряет свою предсказательную силу. Подобно этому, мир не является суперсимметричным при обычных значениях энергии. Нет такого пертурбативного механизма, чтобы выбрать решения, которые бы допускали несуперсимметричные низкоэнергетичные спектры.
Непертурбативная гравитация
В настоящее время оказывается, что нет согласованной и конечной пертурбативной формулировки квантовой гравитации. При определении пертурбативного разложения в общем случае мы должны сделать выбор, какая фоновая метрика на пространственно-временном многообразии будет выбираться для того, чтобы, используя эту метрику, начать развивать теорию возмущений. При непертурбативной формулировке квантовой гравитации все аспекты пространства-времени должны были бы определяться из решений этой теории. Например, предполагается, что в теории струн движение струн через пространство-время определяет то, какова есть метрика пространства-времени. Отсюда следует, что можно было бы предпочесть, чтобы метрика пространства-времени не появлялась бы при формулировке теории. На этом основании и для того, чтобы обойти проблемы, упомянутые выше, в настоящее время проводятся поиски непертурбативной формулировки теории струн.
При отсутствии надежд, связанных с пертурбативной квантовой гравитацией, вновь возник интерес к определению того, имеет ли смысл непертурбативная квантовая гравитация, основанная на общей теории относительности. Возможно несогласованности вводятся пертурбативной формулировкой. Канонический подход к квантовой обшей теории относительности с использованием уравнение Уилера-Де Витта и канонических переменных зашёл в тупик, что обусловлено сложностью уравнений, которые должны быть решены. Недавно, однако, переформулировка общей теории относительности на языке новых переменных [Asht 86, Asht 87] привела к новому петлевому представлению квантовой общей теории относительности [JaSm 88], [RoSm 88], где уравнения много проще для решения, и некоторое продвижение вперёд было достигнуто. Эти новые переменные имеют прямую родственную связь между общей теорией относительности и теорией Янга - Миллса, что возможно может быть использовано.
Последнее замечание: Фейнман и индексы
Фейнман однажды говорил мне, что постановка знаков минус, множителей 𝑖, 2 и π правильным образом является чем-то таким, о чем стоит беспокоиться только тогда, когда настаёт время опубликования результата. Видимо, правила для индексов и общепринятые стандартные соглашения также попадают в эту категорию. От начала до конца в первых шести лекциях, фактически каждый индекс опускается (см. также [Feyn 63b]). Тем самым производятся необычные обозначения такие, что 𝑥μ=(𝑡,𝑧,𝑦,𝑥) и 𝑥μ=(𝑡,-𝑧,-𝑦,-𝑥). Игнорирование правила индексов не будет допустимо, когда пространство-время не является более плоским. Я отрегулировал использование индексов таким образом, чтобы стандартные правила индексов выполнялись, и использовал практически стандартный символ ημν для метрики Минковского (Фейнман использовал δμν).