3.2. Амплитуды и поляризации в электродинамике, типичной полевой теории
Сейчас наша программа состоит в том, чтобы построить теорию со спином гравитона 2 по аналогии с другими теориями поля, которые у нас есть. В этом месте мы могли бы перейти на взгляд Эйнштейна на теорию гравитации, так как он получил правильную теорию, но будет более поучительно и проще для нас изучить свойства теории, если мы поддерживаем фантазию венерианских учёных для того, чтобы предположить свойства правильной теории. Поэтому, предполагая, что многие учёные сегодня могут придти к правильной теории гравитации, мы отнюдь не умаляем достижение Эйнштейна. В настоящее время у нас есть ретроспективный, хорошо развитый формализм, которого не было пятьдесят лет назад, и у нас есть указание Эйнштейна на правильное направление теории. Очень трудно представить себе, чтобы мы делали, если бы мы не знали того, что мы знаем, когда мы знаем то, что знаем, но давайте продвинемся дальше и сделаем предположения о правильной теории по аналогии с электродинамикой.
В теориях со скалярным, векторным и тензорным полями (другой способ обозначения спина 0, 1, 2) поля описываются скалярной, векторной или тензорной потенциальными функциями
Спин
0
𝑋
Скалярный потенциал
Спин
1
𝐴
μ
Векторный потенциал
Спин
2
ℎ
μν
Симметричный тензорный потенциал
Другая теория могла бы следовать из предположения, что тензор - антисимметричный; это не привело бы к чему-то, напоминающему гравитацию, скорее к теории, напоминающей электромагнетизм; шесть независимых компонент антисимметричного тензора могли появиться как два пространственных вектора.
Рис. 3.2.
Источник электромагнетизма - векторный ток 𝑗μ, который связывается с векторным потенциалом уравнением
𝐴
μ
=-
1
𝑘²
𝑗
μ
.
(3.2.1)
Сделаем преобразование Фурье и используем импульсное представление. Оператор Даламбера в импульсном представлении есть просто 𝑘². Вычисление амплитуд в электромагнетизме делается с помощью пропагаторов, связывающих токи, способом, изображённым диаграммами, такими, как на рис. 3.2. Вычислим амплитуды для таких процессов как функцию релятивистских инвариантов, и ограничим наш ответ, как предписывается законами сохранения импульса и энергии. Суть электромагнетизма состоит в детальном описании взаимодействия между током и полем, т.е. 𝑗μ𝐴μ; на языке источников это становится взаимодействие между двумя токами
-𝑗'
μ
1
𝑘²
𝑗
μ
.
(3.2.2)
Координатные оси могут быть выбраны таким образом, что вектор 𝑘μ может быть выражен как
𝑘
μ
=
(ω,𝑘,0,0)
.
(3.2.3)
Заметим, что мы используем упорядочение индекса 4, 3, 2, 1 так, что
𝑥
μ
=
(𝑡,𝑧,𝑦,𝑥)
,
𝐴
μ
=
(𝐴₄,𝐴₃,𝐴₂,𝐴₁)
.
(3.2.4)
Тогда ток-ток взаимодействие, когда незаряженные частицы имеют 4-импульс 𝑘μ задается соотношением
-𝑗'
μ
⎛
⎜
⎝
1
𝑘²
⎞
⎟
⎠
𝑗
μ
=
-1
ω²-𝑘²
(
𝑗'₄𝑗₄
-
𝑗'₃𝑗₃
-
𝑗'₂𝑗₂
-
𝑗'₁𝑗₁
).
(3.2.5)
Закон сохранения заряда, который утверждает, что четыре-дивергенция тока равна нулю, в пространстве импульсов становится ограничением
𝑘
μ
𝑗
μ
=
0.
(3.2.6)
В этой специальной системе координат, которую мы выбрали, это ограничение связывает третий и четвёртый компонент этих токов соотношениями
ω𝑗⁴
-
𝑘𝑗³
=
0,
или
𝑗³
=
ω
𝑘
𝑗⁴
.
(3.2.7)
Если мы подставляем выражение для 𝑗₃ в выражение амплитуды (3.2.5), мы получаем, что
-𝑗'
μ
⎛
⎜
⎝
1
𝑘²
⎞
⎟
⎠
𝑗
μ
=
𝑗'₄𝑗₄
𝑘²
1
ω²-𝑘²
(
𝑗'₁𝑗₁
+
𝑗'₂𝑗₂
).
(3.2.8)
Теперь мы можем дать интерпретацию двум членам этого уравнения. Четвёртый компонент тока есть просто плотность заряда; в этой ситуации, когда у нас есть стационарные заряды, это единственный ненулевой компонент. Первый член не зависит от частоты, и когда мы делаем обратное преобразование Фурье для того, чтобы преобразовать выражение в пространство взаимодействия, мы находим, что полученное соотношение представляет мгновенно действующий кулоновский потенциал
(𝐹.𝑇.⁻¹)
⎡
⎢
⎣
𝑗'₄𝑗₄
𝑘²
⎤
⎥
⎦
=
𝑒²
4π𝑟
δ(𝑡-𝑡')
.
(3.2.9)
Это выражение всегда представляет собой главный член в пределе малых скоростей. Этот член кажется мгновенным, но это только потому, что разделение на два члена, которое мы сделали, очевидно, не является ковариантным. Общее взаимодействие на самом деле ковариантная величина; второй член представляет поправки к мгновенному кулоновскому взаимодействию.
Во взаимодействие между двумя токами всегда вовлечены виртуальные фотоны. Мы можем узнать кое-что о свойствах реальных фотонов из анализа полюсов амплитуды взаимодействия, которая имеет место при ω±𝑘. Конечно, любой фотон, который участвует в физическом эффекте, может рассматриваться как виртуальный фотон, так как он не наблюдается до тех пор, пока не произойдёт взаимодействие, так что наблюдаемые фотоны никогда не характеризуются соотношением ω±𝑘. Тем не менее, нет трудностей в приближении к этому пределу; физически мы знаем фотоны, которые приходят от Луны или Солнца, для которых относительная разница между величинами ω и 𝑘 очень, очень мала. Если мы полагаем, что мы наблюдаем фотоны от удалённых галактик, которые находятся от наблюдателя на расстоянии в миллионы световых лет, мы понимаем, что это должно придать тот физический смысл, чтобы думать, что мы близки к полюсу так, что для этих фотонов не может быть никакого физического эффекта не являющимся похожим на полюсный член. Вычет полюсного члена при ω=𝑘 есть сумма двух членов, каждый из которых есть произведение двух множителей. Кажется, что существует один тип фотонов, которые взаимодействуют с токами 𝑗₁ и 𝑗'₁ и другой тип фотонов, которые взаимодействуют с токами 𝑗₂ и 𝑗'₂ Пользуясь обычным языком, мы описываем данную ситуацию, говоря, что имеются две независимые поляризации для фотонов.