=-
𝑘𝑇
3ν
.
(3.3.6)
Используя это соотношение для исключения компонентов с индексом 3, мы находим, что амплитуда разделяется на часть, описывающую мгновенное взаимодействие, имеющую характерный числитель 𝑘², и запаздывающую часть со знаменателем (ω²-𝑘²). Для ”мгновенного” члена мы получаем
-
1
𝑘²
⎡
⎢
⎣
𝑇'₄₄𝑇₄₄
⎛
⎜
⎝
1
-
ω²
𝑘²
⎞
⎟
⎠
-
2𝑇'₄₁𝑇₄₁
-
2𝑇'₄₂𝑇₄₂
⎤
⎥
⎦
,
(3.3.7)
и для ”запаздывающего” члена
1
ω²-𝑘²
(
𝑇'₁₁𝑇₁₁
+
𝑇'₂₂𝑇₂₂
+
2𝑇'₂₁𝑇₂₁
).
(3.3.8)
Трансверсальные компоненты тензора 𝐓 предположительно независимы, так что они представляют сумму трёх независимых произведений или трёх поляризаций. Мы видим, что такая теория содержит смесь спина 0 и спина 2. Для того, чтобы исключить часть, соответствующую спину нуль, мы должны добавить к нашей амплитуде член вида
α
𝑇'
ν
ν
⎛
⎜
⎝
1
𝑘²
⎞
⎟
⎠
𝑇'
μ
μ
.
(3.3.9)
В ”запаздывающем” члене добавляются компоненты тензора следующим образом
α
1
ω²-𝑘²
(
𝑇'₁₁
+
𝑇'₂₂
)(
𝑇₁₁
+
𝑇₂₂
).
Мы можем выбрать параметр α так, что ”запаздывающий” член содержит только сумму двух независимых произведений. Соответствующее значение параметра α равно -½ для того, чтобы сделать запаздывающий член равным
1
ω²-𝑘²
⎡
⎢
⎣
1
2
(
𝑇'₁₁
-
𝑇'₂₂
)(
𝑇₁₁
-
𝑇₂₂
)+
2𝑇'₁₂𝑇₁₂
⎤
⎥
⎦
.
(3.3.10)
Имеется два направления поляризации, которые порождаются этими комбинациями элементов тензора
1
√2
(
𝑇₁₁
-
𝑇₂₂
)
и
√
2
(
𝑇₁₁
).
(3.3.11)
Различная нормализация есть результат симметрии нашего тензора; мы можем восстановить симметрию, записывая
√
2
(
𝑇₁₁
)
=
1
√2
(
𝑇₁₁
-
𝑇₂₂
).
(3.3.11a)
Следовательно, возможное решение типа плоской волны, представляющее наш гравитон, имеет вид
ℎ
μν
=
𝑒
μν
exp(𝑖𝑘
σ
𝑥
σ
)
,
(3.3.12)
где тензор поляризации 𝑒μν имеет следующие ненулевые компоненты
𝑒₁₁
=
1
√2
,
𝑒₂₂
=-
1
√2
,
𝑒₁₂
=
𝑒₂₁
=
1
√2
.
(3.3.13)
Наше взаимодействие в общем виде
𝑇'
μν
1
𝑘²
𝑇
μν
-
1
2
𝑇'
μ
μ
1
𝑘²
𝑇
ν
ν
может быть записано как 𝑇'στ𝑃στ,μν𝑇μν, где 𝑃στ,μν пропагатор для гравитона описывается следующим соотношением:
𝑃
στ,μν
=
1
2
(
η
μσ
η
ντ
+
η
μτ
η
νσ
-
η
μν
η
στ
)
1
𝑘²
.
Для простоты мы обычно будем предпочитать записывать этот пропагатор как простой множитель 1/𝑘² и представлять взаимодействие виртуальными гравитонами, испущенными источником с амплитудой
ℎ
μν
=
1
𝑘²
⎛
⎜
⎝
𝑇
μν
-
1
2
η
μν
𝑇
σ
σ
⎞
⎟
⎠
и со связью ℎμν𝑇'μν для поглощения.
Амплитуда для излучения реального гравитона поляризации 𝑒στ, если 𝑒σσ, как в соотношении (3.3.13), задаётся внутренним (скалярным) произведением 𝑒στ𝑇στ.
3.4. Физическая интерпретация в терминах амплитуд
Рис. 3.3.
Поляризация гравитона есть тензорная величина. Мы можем наглядно представить это понятие с помощью картинок, подобных тем, которые мы использовали в описании давлений; мы рисуем стрелки, показывающие направление, которое ассоциировано с нормалью к поверхности, к осям координат. В этой плоскости, перпендикулярной направлению распространения, мы имеем два давления, изображённые на рис. 3.3. Имеется только две возможности для квадрупольного давления; давления, представляемые стрелками, направленными к началу координат (или от начала координат), представляют собой тип давления в жидкости, которое соответствует спину, равному нулю. ”Давления” (в действительности вращения), представляемые всеми стрелками, поворачивающимися в направлении по часовой стрелке (или против часовой стрелки), соответствует спину 1.
Рис. 3.4.
Давление, представленное на рис. 3.3(a), может относится к осям, которые повёрнуты на угол 45° от исходных осей координат; в этом случае картинка на рис. 3.4 есть ничто иное, как то же самое давление, изображённое на рис. 3.3(a), повёрнутое на угол 45°. Отсюда мы находим, что эти поляризации поворачиваются одна в другую при повороте осей на угол 45°. Если мы поворачиваем на угол 90°, то каждая поляризация переходит в себя; стрелки меняют своё направление, но мы должны думать об осциллирующей зависимости от времени, которая связана с этими поляризациями. Двигаясь этим путём, мы видим, что полное вращение на угол 360° соответствует двум полным циклам фазы - спин равен двум. Существуют две ортогональных линейных комбинации этих двух поляризаций, чьи изменения вращательной фазы ведут себя как exp(2𝑖θ) и exp(-2𝑖θ). Это просто различное разделение ”запаздывающего” члена; методом проб и ошибок мы можем просто представить эти две части
1
4
(
𝑇'₁₁
-
𝑇'₂₂
+
𝑖2𝑇'₁₂
)(
𝑇₁₁
-
𝑇₂₂
-
𝑖2𝑇₁₂
)+
+
1
4
(
𝑇'₁₁
-
𝑇'₂₂
-
𝑖2𝑇'₁₂
)(
𝑇₁₁
-
𝑇₂₂
+
𝑖2𝑇₁₂
).
(3.4.1)
Эти части характеризуются спином 2, проекция ±2 тензоров очевидна, когда мы сравниваем форму этих произведений с произведением гармонических многочленов; мы знаем, что (𝑥±𝑖𝑦)(𝑥±𝑖𝑦) очевидно характеризуются спином 2 и проекцией ±2; эти произведения равны 𝑥𝑥-𝑦𝑦±2𝑖𝑥𝑦, которые имеют ту же структуру, что и члены в соотношении (3.4.1). Таким образом, мы приходим к выводу, что при α=-1/2, наши гравитоны имеют только две возможных поляризации. Эта возможно правильная теория, эквивалентная теории поля спина 2, которую ранее рассматривали теоретики Паули и Фирц и выразили на языке полевых лагранжианов [FiPa 39].