⎜
⎝
∂𝐴μ
∂𝑥ν
-
∂𝐴ν
∂𝑥μ
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
∂𝐴μ
∂𝑥ν
-
∂𝐴ν
∂𝑥μ
⎞
⎟
⎠
+
𝑗
μ
𝐴
μ
⎤
⎥
⎦
.
(3.5.1)
Именно из такого лагранжиана мы в конце концов выводим полевые уравнения; мы хотим получить гравитационный аналог соотношения 𝐴μ=-(1/𝑘²)𝑗μ.
Нетрудно сделать предположение о форме второго члена, описывающего взаимодействие. Мы предполагаем, что этот член равен -λℎμν𝑇μν. Здесь аналогия для членов, в которые вовлечены производные, не так очевидна; просто имеется слишком много индексов, которые могут быть переставлены слишком большим числом способов. Мы будем должны написать общую форму для лагранжиана, как сумму по всем возможным способам записи полевых производных, подставляя произвольные коэффициенты перед каждым членом, т.е. записывая его следующим образом:
𝑎
⎛
⎜
⎝
∂ℎμν
∂𝑥σ
⋅
∂ℎμν
∂𝑥σ
⎞
⎟
⎠
+
𝑏
⎛
⎜
⎝
∂ℎμσ
∂𝑥ν
⋅
∂ℎμν
∂𝑥σ
⎞
⎟
⎠
+
𝑐
⎛
⎜
⎝
∂ℎμμ
∂𝑥ν
⋅
∂ℎσν
∂𝑥σ
⎞
⎟
⎠
+… .
(3.5.2)
Наша теория не будет полна до тех пор, пока мы не придумаем некоторый критерий для определения значений коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, ….
Возможно мы можем сделать предположение по некоторой аналогии с электромагнетизмом. Если мы вычисляем вариацию общего лагранжиана (3.5.1) по отношению к 𝐴, мы получаем дифференциальное уравнение, связывающее поля и ток
∂
∂𝑥ν
∂
∂𝑥ν
𝐴
μ
-
∂
∂𝑥ν
∂
∂𝑥μ
𝐴
ν
=
𝑗
μ
.
(3.5.3)
Для экономии записи далее мы будем показывать такие дифференцирования (градиенты), просто указывая индексы координат после запятой; уравнение, которое приведено выше, имеет следующий вид:
𝐴
μ,ν
,ν
-
𝐴
ν,μ
,ν
=
𝑗
μ
.
(3.5.4)
Закон сохранения заряда выражается вычислением дивергенции 𝑗μ, равной нулю. Но мы можем заметить, что уравнения Максвелла для этого поля несогласованы, за исключением закона сохранения заряда, и что градиент от выражения в левой части соотношения (3.5.4) тождественно равен нулю. С использованием правильного лагранжиана электромагнитного поля, закон сохранения заряда может быть выведен как следствие полевых уравнений. Так как левая часть уравнения (3.5.4) удовлетворяет этому тождеству, его дивергенция также равна нулю:
𝐴
μ,ν
,νμ
-
𝐴
ν,μ
,νμ
=
0.
(3.5.5)
Подобное условие используется для того, чтобы определить величину коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, … относительно друг друга. Мы будем выписывать общий лагранжиан, выводить дифференциальные полевые уравнения путём вариации лагранжиана и требовать, что, так как дивергенция тензора 𝐓 обращается в нуль, полевые величины, которые равны этому тензору, должны иметь дивергенцию, которая равна нулю тождественно. Это условие будет влиять на однозначный выбор значений коэффициентов. Мы проведём ниже алгебраические вычисления подробно, устанавливая значения коэффициентов таким образом, что полевые уравнения согласованы, если только
𝑇
μν
,ν
=
0.
(3.5.6)
3.6. Уравнения гравитационного поля
Вывод уравнений начнём с выписывания всех возможных произведений нашего полевого тензора ℎμν. На каждом шагу имеют место значительные упрощения, если мы используем симметрию тензора ℎμν при комбинации различных членов. Если два тензорных индекса отличны от индекса производной, мы имеем два различных произведения
1.
ℎ
μν,σ
ℎ
μν,σ
2.
ℎ
μν,σ
ℎ
μσ,ν
Если имеются два индекса, которые равны, мы можем иметь три возможных произведения
3.
ℎ
μν
,ν
ℎ
σ
μ,σ
4.
ℎ
μν
,ν
ℎ
σ
σ,μ
5.
ℎ
ν
ν,μ
ℎ
σ
σ,μ
Не все пять произведений необходимо рассматривать, произведение п. 2 может быть опущено, поскольку оно может быть преобразовано в произведение п. 3 интегрированием по частям. Таким образом, предполагаем, что лагранжиан имеет следующий вид
𝑆
=
∫
𝑑τ
⎡
⎣
𝑎
ℎ
μν,σ
ℎ
μν,σ
+
𝑏
ℎ
μν
,ν
ℎ
σ
μ,σ
+
𝑐
ℎ
μν
,ν
ℎ
σ
σ,ν
+
+
𝑑
ℎ
ν
ν,μ
ℎ
σ
σ,μ
-
λ
𝑇
μν
ℎ
μν
⎤
⎦
.
(3.6.1)
Теперь мы вариируем эту сумму четырёх произведений по отношению к тензору ℎαβ для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее полевые производные с тензором источника 𝑇αβ. Таким образом, приходим к следующему результату (необходимо помнить, что δℎαβ симметричен по индексам α, β, так что симметричная часть его коэффициентов должна быть равна нулю)
𝑎2
ℎ
αβ,σ
,σ
+
𝑏
(
ℎ
ασ,β
,σ
+
ℎ
βσ,α
,σ
)
+
+
𝑐
(
ℎ
σ
σ,αβ
+
η
αβ
ℎ
μν
,νμ
)
+
𝑑2
η
αβ
ℎ
σ
σ,μ
μ
=-
λ𝑇
αβ
.
(3.6.2)
Мы берём производную каждого из этих членов по отношению к индексу β, тогда требование, что дивергенция левой части должна быть равна нулю, приводит к следующему уравнению
2𝑎