ℎ
αβ,σ
,σβ
+
𝑏
ℎ
ασ,β
,σβ
+
𝑏
ℎ
βσ,α
,σβ
+
𝑐
ℎ
σ
σ
,αβ
β
+
+
𝑐
ℎ
μν
,μν
α
+
2𝑑
ℎ
σ
σ,μ
,μα
=
0.
(3.6.3)
Теперь объединяем члены с одним и тем же множителем и берём значение соответствующего коэффициента равным нулю; получаем следующие соотношения, которые включают в себя перестановку и смену индексов:
ℎ
αβ,σ
,σβ
(2𝑎+𝑏)
=
0,
ℎ
βσ,α
βσ
(𝑏+𝑐)
=
0,
ℎ
σ
σ,β
αβ
(𝑐+2𝑑)
=
0.
(3.6.4)
Если мы выбираем масштаб для наших результатов такой, что 𝑎=½, мы получаем
𝑎
=
1
2
,
𝑏
=
-1
,
𝑐
=
1
,
𝑑
=-
1
2
.
(3.6.5)
Предположительно, теперь мы получили правильный лагранжиан для гравитационного поля. Как следствие из этого лагранжиана мы получим в конце концов полевое уравнение.
3.7. Определение символов
Манипуляции с тензорными величинами становятся всё более скучными в той работе, которой мы занимаемся; и для того, чтобы не увязнуть в алгебре со многими индексами, могут быть разработаны некоторые упрощающие приёмы. В настоящее время не очевидно, что определения, которые мы делаем, полезны; подтверждение этому проявится в их более позднем использовании.
Определим оператор ”черта” для произвольного тензора второго ранга следующим образом:
𝑋
μν
=
1
2
(
𝑋
μν
+
𝑋
νμ
)-
1
2
η
μν
𝑋
σ
σ
.
(3.7.1)
Для симметричного типа, такого как 𝐡, это правило проще, потому что два члена в первой скобке равны
ℎ
μν
=
ℎ
μν
-
1
2
η
μν
ℎ
σ
σ
,
(3.7.2а)
ℎ
μν
=
ℎμν
.
(3.7.2б)
Заметим, что оператор ”черта” является своим собственным обратным оператором для симметричного тензора.
Определим также использование неиндексированного тензорного символа, чтобы представить его след
ℎ
=
Th(𝐡)
=
ℎ
σ
σ
,
ℎ
σ
σ
=-
ℎ
.
(3.7.3)
Используя такие обозначения, можно записать полевые уравнения (3.6.2) с учётом (3.6.5) в симметризованном варианте
ℎ
μν,σ
,σ
-
2
ℎ
μσ,ν
,σ
=-
λ
𝑇
μν
.
(3.7.4)
Для того, чтобы получить соотношение для 𝑇μν, мы просто берём оператор ”черта” от обеих частей последнего уравнения.
Следующим шагом мы попробуем найти что-либо аналогичное свойствам калибровочной инвариантности электродинамики для того, чтобы упростить решение уравнения (3.7.4). В электродинамике полевые уравнения имеют вид:
𝐴
μ,ν
,ν
-
𝐴
ν
,νμ
=
𝑗
μ
,
(3.7.5)
следствие которых состоит в возможности описания полей так же хорошо на языке нового четыре вектора 𝐴'μ, получаемого из вектора 𝐴μ добавлением градиента скалярной функции 𝑋
𝐴'
μ
=
𝐴
μ
+
𝑋
,μ
.
(3.7.6)
Какое свойство было бы аналогичным свойством тензорного поля? Мы предполагаем, что следующее свойство может быть справедливым: (мы должны быть внимательны для того, чтобы сохранить наши тензоры симметричными) подстановка
ℎ'
μν
=
ℎ
μν
+
𝑋
μ,ν
+
𝑋
ν,μ
(3.7.7)
в левую часть уравнения (3.7.4) не меняет вид этого уравнения. Доказательство этого факта оставляем в качестве упражнения.
С использованием свойства калибровочной инвариантности, было бы проще получить уравнения для полей в определённой калибровке, что более подходяще, что-то типа лоренцевой калибровки в электродинамике. По аналогии с выбором
𝐴
ν
,ν
=
0,
(3.7.8)
мы сделаем следующий выбор (который будем называть условием Лоренца)
ℎ
μσ
,σ
=
0.
(3.7.9)
Таким образом, получаем полевые уравнения, связывающие оператор ”черта” от тензора 𝐓 с полями
ℎ
μν,σ
,σ
=-
𝑘²
ℎ
μν
=-
λ
𝑇
μν
,
(3.7.10)
или решая ℎμν=(λ/𝑘²)𝑇μν. Немедленно получаем, что амплитуда взаимодействия такого тензора 𝐡 с другим источником 𝑇'μν от λℎμν𝑇'μν в лагранжиане, имеет следующее выражение
λ²
𝑇'
μν
⎡
⎢
⎣
1
𝑘²
⎤
⎥
⎦
𝑇
μν
.
Итак, мы получили в точности то, что мы получили прежде при обсуждении амплитуд непосредственно.
Лекция 4
4.1. Связь между рангом тензора и знаком поля
Мы хотели бы вывести некоторые полезные общие свойства полей, используя свойства лагранжевой плотности. Для гравитационного поля мы определим в данном месте константу взаимодействия и нормализацию плоских волн, которые мы будем отныне использовать. Мы положим
λ
=
√
8π𝐺
.
(4.1.1)
Здесь, 𝐺 - обычная гравитационная постоянная в естественных единицах (ℏ=𝑐=1); квадратный корень включается в определение с тем, чтобы константа λ стала аналогична заряду электрона 𝑒 в электродинамике, что предпочтительнее того, чтобы подобная величина была пропорциональна квадрату заряда. Множитель √8π служит для того, чтобы исключить не относящиеся к делу множители из большей части полезных соотношений. Для того, чтобы представить плоско-волновые гравитоны, мы будем использовать поля
ℎ
μν
=
𝑒
μν
exp(𝑖𝑘⋅𝑥)