,
(4.1.2)
с вектором поляризации 𝑒μν, нормализованным таким образом, что
𝑒
μν
𝑒
μν
=
1.
(4.1.2)
Действие, которое описывает общую энергию полей гравитации, вещество и взаимодействие между веществом и гравитонами, имеет следующий вид
𝑆
=
1
2
∫
𝑑𝑉
⎛
⎝
ℎ
μν,λ
ℎ
μν,λ
⎞
⎠
-2
ℎ
μλ
,λ
ℎ
μν
,ν
(поля)
+
∫
𝑑𝑉
(
ℎ
μν
𝑇
μν
)
(член взаимодействия)
+
𝑆
𝑀
(материя).
(4.1.4)
Мы можем вывести из лагранжианов полей некоторые важные свойства, например, мы можем понять, почему гравитация притягивает как частицы, так и античастицы, в то время как в электричестве одинаковые заряды отталкиваются, а противоположные притягиваются. Может быть показано, что это свойство связано со знаком лагранжиана, так что если мы изменим знак лагранжиана 𝑆→-𝑆, сила меняет знак. Знак констант взаимодействия λ или 𝑒, или 𝑔 не даёт отличий в теории, так как он появляется в квадрате в любой диаграмме, которая представляет поправку к энергии; всегда вовлечены две вершины. Мы можем поменять знак энергии, соответствующей диаграмме такой, как изображённой на рис. 4.1, только, если мы можем ввести множитель 𝑖 в каждой вершине, например, если мы должны использовать поля 𝑖φ вместо φ.
Рис. 4.1.
Тем не менее, поля φ должны представлять соответствующие плоские волны, которые согласовано определены так, что установившиеся волны в большой коробке имеют положительные значения энергии и квантово-механические осцилляторы, которые представляют эти установившиеся волны, ведут себя правильно. Скалярные поля имеют плоские волны
φ
=
𝑎
exp(𝑖𝑘⋅𝑥)
.
(4.1.5)
Амплитуда 𝑎 для квантового поля появляется как координата квантово-механического осциллятора. Если значения кинетической энергии таких осцилляторов, которые пропорциональна 𝑎̇², должны представлять положительные значения энергии, мы обязаны записать нашу теорию последовательным образом, и замена φ→𝑖φ была бы ошибкой.
Для электромагнитных волн именно компоненты в трансверсальном направлении, перпендикулярном направлению распространения, ограничиваются при подобном рассмотрении. Отрицательный знак появляется в связанной энергии потому, что энергия включает в себя пространственные индексы в скалярное произведение двух векторов, которое мы определили как
𝐴
μ
𝐵
μ
=
𝐴₄𝐵₄
-(
𝐴₃𝐵₃
+
𝐴₂𝐵₂
+
𝐴₁𝐵₁
).
(4.1.6)
Знак кулоновских сил связан со знаком временных компонент в лагранжиане. Для гравитационных волн также имеются трансверсальные компоненты, которые заключены в определённые пределы, а при свёртке по двум индексам (или даже по чётному числу индексов) знаки сокращаются, знак временных компонентов ℎ₄₄ противоположен случаю, рассматриваемому в случае электричества, и мы имеем притяжение.
4.2. Тензор энергии-импульса для скалярной материи
Прежде, чем мы сможем вычислять наблюдаемые эффекты и делать предсказания другие, чем закон ”обратных квадратов”, и то, что ”одинаковые тела” притягиваются с силой, пропорциональной его энергии, мы должны определить, как материя определяет тензор давления 𝑇μν. Сначала мы проведём в некоторых деталях вычисления, основанные на простейшем предположении, что материя может быть представлена скалярной функцией φ. Позднее нам понадобится рассматривать функции более высокого ранга; возможно в конце курса мы рассмотрим вещество со спином ½, поскольку такое вещество имеет свойства, существенно отличающиеся от вещества, характеризующегося целым спином. Для исследования свойств материи с целыми значениями спина 1 и 2 требуются более сложные алгебраические преобразования, однако никаких принципиальных нововведений привлекать не требуется.
Как сделать обобщение плотности энергии-импульса для скалярного поля φ. Если заглянуть в книгу Вентцеля [Went 49] по теории поля, мы обнаружим, что предлагается следующая процедура. Предположим, что лагранжиан зависит от полей и их производных
ℒ
=
ℒ(
ψ
𝑖
ψ
𝑖
,ν
).
(4.2.1)
Компонент с индексами {44} тензора энергии-импульса должен представлять плотность энергии, которая есть гамильтониан. Поэтому используя обычное классическое описание для выражения гамильтониана из лагранжиана
𝐻
=
𝑞̇
∂𝐿
∂𝑞̇
-
𝐿
,
(4.2.2)
получаем следующее соотношение
𝑇
μ
ν
=
ψ
𝑖
,ν
∂ℒ
∂ψ𝑖,ν
-
δ
μ
ν
ℒ
.
(4.2.3)
Это правило не является корректным в общем случае. Во-первых, оно не обязательно приводит к выражению, симметричному по индексам μ и ν. Если тензор 𝑇μν - несимметричен, то результирующая теория - патологическая (например, нет способа определить угловой момент в таком поле). Закон сохранения энергии в общем случае не выполняется, поскольку в дивергенцию включены члены, которые не являются больше равными
𝑇
μν
,ν
≠
𝑇
νμ
,ν
.
(4.2.4)
В нашем частном скалярном случае правило (4.2.3) действительно приводит к тому, чтобы получить удовлетворительную симметричную форму. Мы получаем лагранжиан и действие
𝑆
(Скалярная материя)
=
1
2
∫
𝑑𝑉
(
φ
,σ
φ
,σ
-
𝑚²φ²
),
(4.2.5)
который даёт следующее выражение для тензора давления
𝑇
μν
=
φ
,ν
φ
,μ
-
1
2
η
μν
φ
,σ
φ
,σ
+
1
2
𝑚²φ²η
μν
.
(4.2.6)
С учётом тензора давления для скалярной материи (4.2.6) член, описывающий взаимодействие в лагранжиане, имеет следующий вид:
-λℎ
μν
𝑇
μν
=-
λ
⎡
⎢
⎣
ℎ
μν
φ
,μ
φ
,ν
-
1
2
ℎ
μν
η
μν
(
φ
,σ
φ
,σ
-
𝑚²φ²
)
⎤
⎥
⎦
.
(4.2.7)
В наших компактных обозначениях, использующих оператор ”черта”, последнее соотношение может быть переписано следующим образом: