(4.4.7)
для удобства в случаях, в которых волна не свободна. Этот факт имеет свой электромагнитный аналог, для фотонов величина 𝑞μ𝑒μ должна быть равна нулю.
Мы можем вывести действительный вид тензора поляризации 𝑒μν в системе координат такой, что 4-вектор импульса равен
𝑞
μ
=
(ω,ω,0,0)
.
(4.4.8)
Если мы выбираем
𝑒'
μν
=
𝑒
μν
+
𝑞
μ
χ
ν
+
𝑞
ν
χ
μ
(4.4.9)
и требуем, что 𝑒'μν должна иметь компоненты только в трансверсальном направлении, мы получаем систему уравнений, которая может быть разрешена и получен ответ
𝑒'₁₁
=-
𝑒'₂₂
=
1
√2
,
𝑒'₁₂
=
𝑒'₂₁
=
1
√2
.
(4.4.10)
Для того, чтобы получить соотношения (4.4.10), заметим, что из уравнения (4.4.6) следует, что 𝑒μ4=-𝑒μ3, так что только компоненты с индексами 4, 1 и 2 являются независимыми. Компоненты с индексом 4 могут быть удалены, если требуется, с помощью преобразования (4.4.9). Например, 𝑒'₁₄=𝑒₁₄+ωχ₁, тогда выберем χ₁=-𝑒₁₄/ω, χ₂=-𝑒₂₄/ω. Тогда 𝑒'₄₃=𝑒₄₃+ωχ₄-ωχ₃, выберем χ₃-χ₄=-𝑒₃₄/ω тогда 𝑒'₄₃=𝑒'₄₃=𝑒'₄₄=𝑒'₃₃=0. Выбирая χ₄=-𝑒₄₄/2ω, сделаем следующую величину равной нулю 𝑒'₄₄=𝑒₄₄+2ωχ₄=0. Тогда, так как величина 𝑒'₄₄ также равна нулю, то след 𝑒'σσ равен нулю, следовательно, равны нулю также и 𝑒'₃₃ и 𝑒'₁₁+𝑒'₂₂ Поэтому остались ненулевыми среди величин 𝑒'μν только компоненты с индексами μ,ν = 1 или 2 и для них 𝑒'₁₁=-𝑒'₂₂ Имеется только две линейно независимые нормализованные комбинации (4.4.10).
Рис. 4.3.
Амплитуда для комптоновского рассеяния гравитона частицей массы 𝑚 соответствует диаграммам, изображённым на рис. 4.3. Поляризации гравитона представляются тензором 𝑒μν; для скалярной массы компоненты импульса в каждой вершине -¹𝑝μ, (¹𝑝ν+¹𝑞ν) = (²𝑝ν+²𝑞ν) и ²𝑝μ. На языке этих величин мы имеем для первой диаграммы
4λ²
²
𝑒
μν
⎡
⎢
⎣
²𝑝
μ
(
²𝑝
ν
+
²𝑞
ν
)-
1
2
𝑚²η
μν
⎤
⎥
⎦
1
(¹𝑝+¹𝑞)²-𝑚²
×
×
¹
𝑒
αβ
⎡
⎢
⎣
¹𝑝
α
(
²𝑝
β
+
²𝑞
β
)-
1
2
𝑚²η
αβ
⎤
⎥
⎦
.
(4.4.11)
Пропагатор написан таким образом, что подходит для скалярной частицы. Некоторые ограничения в этой формуле следуют из ограничения для плоских волн 𝑞²=0 и 𝑞ν𝑒νμ.
4.5. Нелинейные диаграммы для гравитонов
Из калибровочной инвариантности мы ожидаем, что замена ¹𝑒μν на ¹𝑒μν+¹𝑞μ𝑎ν+¹𝑞ν𝑎μ не должна бы влиять на комптоновскую амплитуду. Однако прямая подстановка показывает, что это утверждение не является верным. Что же ошибочно в наших рассуждениях?
Рис. 4.4.
При комптоновском рассеянии фотонов электронами имеется третья диаграмма, изображённая на рис. 4.4, которая неаналогична ни одной из диаграмм, изображённых на рис. 4.3. Эта диаграмма соответствует квадратичному взаимодействию в 𝐴², которое появляется в лагранжиане для того, чтобы сделать теорию калибровочно инвариантной. По аналогии с ситуацией в электродинамике мы могли бы полагать, что при рассмотрении только пары диаграмм, изображённых на рис. 4.3, мы делали приближение к правильному описанию путём линеаризации. Существование амплитуды с квадратичным взаимодействием, соответствующим диаграмме, изображённой на рис. 4.3, может быть выведено в электродинамике требованием того, чтобы калибровочная подстановка
𝑒'₁
=
𝑒₁
+
𝑞𝑎
(4.5.1)
не должна была бы приводить к изменению в амплитуде в заданном порядке. Такая процедура состоит просто в приравнивании членов одного и того же порядка амплитуд, полученных из 𝑒₁ и 𝑒'₁, с коэффициентами перед каждым членом, которые должны быть определены. Может быть возможно вывести форму квадратичного члена гравитона аналогичным способом, но это пока ещё не было сделано, поскольку самовзаимодействие гравитона делает анализ довольно сложным во втором порядке, и мы получим правильные выражения, используя другой подход.
Может быть интересным попытаться вывести эти члены, применяя прямой подход, так что сделаем несколько замечаний об этом.
Рис. 4.5.
Если мы рассматриваем добавление к комптоновскому рассеянию не только амплитуд, таких, какие представлены на рис. 4.4, но также амплитуд, соответствующих диаграмме, изображённой на рис. 4.5, у нас вероятно не будет условий для того, чтобы определить все неизвестные параметры более полной теории. Если мы рассмотрим взамен нашей задачи комптоновское рассеяние виртуального гравитона, мы можем увеличить число регулируемых величин, и может быть возможно вновь получить правильную теорию. Включённые в анализ диаграммы могут быть типа изображённых на рис. 4.6, и мы могли бы попытаться сделать сумму калибровочно инвариантной. На самом деле, мы будем решать эти проблемы другим способом, тем не менее, такой подход может быть полезным для того, чтобы изучить детали нашей полевой теории, подходя к решению различными путями.
Рис. 4.6.
4.6. Классические уравнения движения гравитирующей частицы
Для того, чтобы вычислить некоторые классические эффекты в нашей теории, например, орбиты планет, движущихся вокруг звезды, нам необходимо свести нашу квантовую теорию к её классической форме. Это возможно сделать, выписывая классическую теорию, как результат вариационного принципа на интеграле по траекториям, который заключает в себя действия или временной интеграл от лагранжиана. Движение, описываемое частицей, задаётся минимумом интеграла по траекториям, например, для свободной частицы это минимум интеграла
-
∫
√
(𝑑𝑠)²
=-
∫
√
𝑑𝑥
μ
𝑑𝑥
μ
=-
∫
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞½
⎟
⎠
𝑑α
.
(4.6.1)
Что-то должно быть добавлено к интегральному выражению для того, чтобы представить гравитационные эффекты. Имеется более, чем один вариационный принцип, который может дать классическую теорию, так что мы будем использовать вариационный принцип, который даёт более удобные интегралы по траекториям (фактически, принцип, приводящий к уравнению Клейна - Гордона методом интегрирования по траекториям в квантовой механике). Для заряженных частиц мы можем получить уравнения движения, вариируя интеграл
-
𝑚
2
∫
𝑑α
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜